03.11.2017 admin

1.6. Матрицы Адамара-Эйлера


На случай простых чисел q=n–1 критерием пропусков в ряду разложимых на аддитивные квадратичные составляющие чисел занимался Л. Эйлер, существуют обобщения, но этот математик разрешил основную задачу. В данном случае речь идет не о последовательностях чисел, как в случае чисел Мерсенна или Ферма, а, напротив, их пропусках. Матрицы Белевича для значений порядков 22, 34, 58 и т.п. не существуют.

Это делает актуальным рассмотрение четырехуровневых замещений матриц Белевича, которые назовем, в свою очередь, матрицами Адамара-Эйлера для главной ветви n=2k+2 или матрицами Эйлера при n=4k+2. Вообще говоря, поскольку порядки n=4k+2 лежат посередине между порядками матриц Адамара, сугубо теоретически матрицы этого типа можно получать на основе структурных инвариантов, присущих матрицам Адамара-Ферма и матрицам Адамара-Мерсенна. Однако, как мы видели, уже матрицы Адамара-Ферма представляют собой экзотическую редкость. Поэтому в дальнейшем мы будем ориентироваться на инварианты, идущих от старших по порядку матриц Адамара.

Положение 1. Матрица Адамара-Эйлера E порядка n = 2k+2 с уровнями {±a, ±b}, a>0, 0<b<a порождается алгоритмом Сильвестра из матриц Адамара-Мерсенна, условию ортогональности столбцов отвечает значение b=a/2 при n=6, в остальных случаях b=(q–(8q)1/2)a/(q–8), где q=n+2 (порядок матрицы Адамара, сверху).

Пересчет уровней необходим для того, чтобы минимизировать m-норму, которая является инвариантом преобразования Сильвестра [M,M;M,–M], и без этой операции останется прежней, на уровне характеристики порождающей матрицы M. Заметим, что хотя значение уровней равно четырем, число уровней абсолютных значений элементов по прежнему равно 2. В этом они сходны с матрицами Адамара.

На рис. 1 показано, как связаны между собой матрица Адамара-Мерсенна третьего порядка M3 и образованная из нее матрица Адамара-Эйлера шестого порядка E6.



Рисунок 1. Матрица Адамара-Мерсенна M3 и Адамара-Эйлера E6


Положение 2. Матрицы Адамара-Эйлера играют, в свою очередь, роль при построении матриц Адамара-Мерсенна старших порядков, поскольку последние образованы восстановлением двухуровневости заменой в алгоритме –M на сопряженную по знаку матрицу M* с дополнением двухцветной каймы, см. рис. 2.



Рисунок 2. Матрица Адамара-Мерсенна M7 и Адамара-Эйлера E6


Аналогичное правило позволяет получать, помимо главной ветви ортогональных матриц четного порядка n = 2k+2, и все побочные ветви порядков n = 4k+2. Если предыдущие матрицы органично связаны с числовыми последовательностями Мерсенна и Ферма, то этот тип матриц восходит, напротив, к идее заполнения пропусков разлагаемых на сумму двух квадратов чисел на числовой оси в задаче, которой занимался Эйлер.

Hide

Rambler's Top100