03.11.2017 admin

1.5. Матрицы Адамара-Ферма


Рассмотрим ветвь малоуровневых ортогональных матриц нечетных порядков, равных числам Ферма n = 22k+1.

В теории чисел числа Ферма более формальная дефиниция, чем числа Мерсенна. Она порождена предположением относительно простоты чисел Ферма, которое в дальнейшем не подтвердилось. Поиск делителей таких чисел ныне – соревновательное направление, в нем состязаются компьютеры и алгоритмисты.

Соответственно, эти числа дают лишь название направлению. Выделим матрицы порядков n = 2k+1, прореженных лишь требованием четности показателя k. Числа Ферма, начиная с 5, относятся к ним, образуя подмножество, и первые члены этого ряда с ними совпадают, различие начинается только на порядке n=1025.

Возьмем за основу диагональную матрицу Адамара порядка n = 22 и найдем монотонную кайму, добавка которой сохраняет ортогональность столбцов на нечетном порядке.



Рисунок 1. Матрица Адамара-Ферма пятого порядка


Если приравнять элементы каймы внедиагональным элементам этой матрицы –b, то перед нами будем D-матрица пятого порядка, чья m-норма растет, а у нас цель – понизить ее. Размещение на кайме инвертированных элементов s=b (за исключением первого диагонального элемента a) дает стартовую матрицу Адамара-Ферма, но увеличивает количество уровней на 1.

Следующая матрица получается нужного нам порядка, если мы отрежем кайму, и для соблюдения выделенного рисунком структурного инварианта учетверим (а не удвоим) ее, размещая преобладающие по количеству положительных элементов матрицы на диагонали.

Пусть S – двухуровневая матрица, получаемая из матрицы Адамара-Ферма F отрезанием каймы.

Определение 1. Сопряженная по знаку матрица S* – матрица, элементы которой взаимно изменены по значениям уровней: элемент a заменен на –b, –b – на a.

Аналогичная операция у матриц Адамара-Мерсенна производится над всей матрицей.

Определение 2. Модифицированный алгоритм Сильвестра учетверения порядка матрицы дает блочно-диагональную [S*,S,S,S;S,S*,S,S;S,S,S*,S;S,S,S,S*].

Для завершения операции необходимо вернуться к нечетным значениям порядков добавлением положительных элементов каймы (условие нормализации), в общем, отличных от b.

В данном случае наращиваемая матрица имеет три уровня {a, –b, s}, a=1, 0<b<a, bs<a (кайма).

Положение 1. Матрица Адамара-Ферма F порядка n = 2k+1, k – четное число, порождается модификацией алгоритма Сильвестра с добавлением нормализованной каймы, условию ортогональности столбцов отвечают значения b=(2np)/p, s=(nq–(4q)1/2)a/p, где p=q+q1/2, q=n–1 (порядок матрицы Адамара).

Второй корень квадратичного уравнения, следующего из условия ортогональности столбцов, дает матрицу с большей величиной m-нормы, в данном случае этим решением мы пренебрегаем.

На рис. 2 приведены получаемые последовательно матрицы 17-го и 65-го порядков. Эта модификация отлична от результатов работы классического алгоритма Сильвестра и отражает, скорее, логику построения матриц с диагональным преобладанием. Волею случая на матричных портретах видна выписанная вдоль диагонали четырежды буква Ф.



Рисунок 2. Матрицы Адамара-Ферма 17-го и 65-го порядков


Матрицы Адамара-Ферма для порядков n=2k+1 с четным показателем k будем называть правильными или, для большей простоты, матрицами Ферма.

По порядкам n = 2k+1 с нечетным показателем k отметим следующее.

Эта ветвь теории представлена всего двумя особыми матрицами.

Порядок n = 3 относится к числам Ферма, его необычность состоит лишь в том, что поле за пределами каймы не учетверено, а лишь удвоено, в итоге нужный баланс достигается резким понижением значения диагонали b = s = 2a.

От матрицы Адамара-Мерсенна ее отличает только уровневость (три, а не два), абсолютные значения элементов те же, это та же самая матрица, но поданная иначе.

На порядке n = 9 придется существенно повышать уровневость, поскольку увеличение элементов диагонали не касается по прежнему малого единственного начального элемента каймы. Эту разноцветную матрицу Ферма, см. рис. 3, можно отнести к особым матрицам – артефактам, она будет рассмотрена позднее.

Интересна она тем, что ее порядок кратен порядку стартовой матрицы Адамара-Мерсенна, на ней изучается кратность.



Рисунок 3. Матрица Ферма 9-го порядка


Благодаря достаточной или повышенной уровневости матрицы Ферма третьего и девятого порядков соответственно, в отличие от прочих таких матриц, – строго оптимальные минимаксные ортогональные матрицы.

Почему не существует матриц более высоких порядков, на это счет есть теория, излагаемая во второй главе, посвященной многоуровневым М-матрицам.

Hide

Rambler's Top100