15.03.2019 admin

1.2. Матрицы Адамара


Матрица Адамара, согласно классическому ее определению, следующая.

Определение 1. Матрица Адамара, это квадратная матрица A порядка n, составленная из элементов {1, –1}, с ортогональными столбцами

A'A=n I,


где I – единичная матрица.

Основная ветвь матриц Адамара. В простейшем случае алгоритм Сильвестра стартует с единицы A1 = 1, порождая основную их ветвь порядков n=2k, см. рис. 1.



Рисунок 1. Двухцветная матрица Адамара второго порядка

Условие простоты элементов {1, –1} противоречит условию нормировки столбцов нормами в ту же единицу. Нас, в дальнейшем, в равной мере будут интересовать ортогональные матрицы Адамара, получаемые следующим тривиальным их обобщением.

Определение 2. Ортогональная матрица Адамара, это квадратная матрица H порядка n, составленная из элементов {a, –a},

H'H = I,


где I – единичная матрица, a=1/n1/2.

Двойная ипостась – приведение к простому виду группы элементов (верхнего уровня) или норм столбцов – обыденность матриц такого сорта и далее мы всегда будем иметь ее в виду.

Простая элементная форма упрощает запись и, естественно, распространена в научной литературе. Вторая нормированная по столбцам форма дает числовые характеристики матриц, в частности, их инварианты. Добавим, что численные алгоритмы поиска оригинальных матриц Адамара (в отличие от переборных алгоритмов), основанные на их экстремальных свойствах, оперируют второй формой.

Положение 1. Ортогональная матрица Адамара – это минимаксная ортогональная матрица, т.е. М-матрица в узком (строгом) ее толковании.

Абсолютное значение элемента ортогональной матрицы H равно ее m-норме a=1/n1/2 = m. Это значение достижимо только на них на множестве ортогональных матриц одинакового с ними порядка. В отношении порядков матриц Адамара существует известное положение.

Положение 2 (гипотеза Адамара). Порядок матриц Адамара (за исключением матрицы второго порядка) кратен 4.

Свою знаменитую гипотезу Адамар высказал, дополняя итерационную формулу Сильвестра матрицами 12-го и 20-го порядков, см. рис. 2.



Рисунок 2. Портреты матрица Адамара 12-го и 20-го порядков


В сочетании с этими стартовыми матрицами алгоритм Сильвестра порождает побочные ветви матриц Адамара. Для нахождения матриц Адамара отличных, от указанных, используются переборные процедуры, процедуры, основанные на свойствах квадратичных вычетов (наследие квадратичного уравнения, описывающего условие ортогональности) и другие.

Теорема Адамара состоит в том, что если у квадратной матрицы все элементы по модулю меньше единицы, то |det(A)|≤nn/2.

Верхняя граница достигается на матрицах Адамара. Другими словами, с точки зрения геометрии объем n-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны. Доказательство знаменитого неравенства Адамара опирается на свойство определителей, позволяющее в оценках переходить к произведению A'A, порождающему квадратичные формы от элементов, которые в данном случае просты.

Гипотеза Адамара состоит в том, что такие матрицы существуют для всех порядков n=4k, где k – целое число, т.е. порядок их кратен 4.

Матрицы Адамара нормализуют, выравнивая знаки первого столбца и первой строки. На их множестве выделяют классы эквивалентности по отношению к операции перестановки строк и столбцов с возможной инверсией элементов.

Неизвестны матрицы Адамара порядков 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964... Порядки, для которых существует только одна матрица Адамара: 1, 2, 4, 8, 12. На 16-м порядке их 5, на 20-м их 3, на 24 их 60, на 28-м их 487. На 32, 36, и 40 счет идет на миллионы. Некоторые из них эквивалентны с точностью до транспонирования. Выделяют регулярные матрицы – с равными суммами элементов строк и столбцов (необходимо: n – точный квадрат).

ПОДБОРКА СТАТЕЙ О МАТРИЦАХ СЕМЕЙСТВА АДАМАРА



СИММЕТРИЧНЫЕ БИЦИКЛЫ И ТРЕХЦИКЛЫ – ПРОПУСЫ


Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Как гипотезе Адамара помочь стать теоремой, часть 1 // Информационно-управляющие системы. 2018. № 6. С. 2–13.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Как гипотезе Адамара помочь стать теоремой, часть 2 // Информационно-управляющие системы. 2019. № 1. С. 2–10.
Balonin N.A. and Seberry, Jennifer Computer construction conjecture for symmetric Hadamard matrices // The Mathematical Scientist (The University of Sheffield, TMS), 2018. Vol. 43 no. 2, pp. 137–143 (December 2018, TMS is under Applied Probability Trust from 1988).
Seberry, Jennifer and Balonin N.A. Two infinite families of symmetric Hadamard matrices // Australian Journal of Combinatorics 2017. Vol. 69 (3) pp. 349–357 AJC 2017 | Abstract
Balonin N. A., Balonin Y. N., Djokovic D. Z., Karbovskiy D. A., Sergeev M. B. Construction of symmetric Hadamard matrices // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2017, № 5, pp. 2–11. (16 Aug 2017: arXiv:1708.05098 | PDF)
Balonin N. A., Djokovic D. Z., Karbovskiy D. A. Construction of symmetric Hadamard matrices of order 4v for v = 47, 73, 113 // Special matrices, 2018. Vol.6 pp. 11–22. It was accepted on Dec 22, 2017, Web of Science/Scopus PDF | HTML (9 Oct 2017: arXiv:1710.03037 | PDF).
Balonin N. A., Djokovic D. Z. Symmetric Hadamard matrices of orders 268, 412, 436 and 604 // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2018, № 4, pp. 2–8. (23 Mar 2018: arXiv:1803.08787)
Balonin N. A., Djocovic D. Z. Negaperiodic Golay pairs and Hadamard matrices. // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy [Information and Control Systems], 2015, no. 5, pp. 2–17. doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.2 (негациклические бициклы)
Балонин Н. А., Джокович Д. Ж. Симметрия двуциклических матриц Адамара и периодические пары Голея // Информационно-управляющие системы. 2015. № 3. С. 2–16.
Balonin N. A., Seberry, Jennifer. A Review and New Symmetric Conference Matrices // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 4 (71), pp. 2–7.
Balonin Yu. N., Sergeev A. M. Two-circulant Hadamard matrices, weighing matrices, and Ryser's conjecture // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2018, no. 3, pp. 2–9.

КРИТСКИЕ МАТРИЦЫ

Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1. С. 2–15.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Суздаль В.С. Динамические генераторы квазиортогональных матриц семейства Адамара // Труды СПИИРАН. 2017. Вып. 5(54). С. 224–243.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Расширение гипотезы Райзера на двуциклические структуры и разрешимость матриц Адамара орнаментом в виде бицикла с двойной каймой // Информационно-управляющие системы. 2017. № 1. С. 2–10.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы Мерсенна и Адамара // Информационно-управляющие системы. 2016. № 1. С. 2–15.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы Мерсенна и Адамара, произведения // Информационно-управляющие системы. 2016. № 5. С. 2–14.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. К вопросу существования матриц Адамара и Мерсенна // Информационно-управляющие системы. 2013. № 5. С. 2–8.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Нормы обобщенных матриц Адамара // Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 2. С. 5–11. (Вестник СПбГУ)
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. О значении матриц начального приближения в алгоритме поиска обобщенных взвешенных матриц глобального и локального максимума детерминанта. // Информационно-управляющие системы. 2015. № 6. С. 2–9 (описание алгоритма)
Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Востриков А.А. О двух предикторах вычисляемых цепочек квазиортогональных матриц // Автоматика и вычислительная техника. 2015. № 3. С. 42–48.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрица золотого сечения G10 // Информационно-управляющие системы. 2013. № 6. С. 2–5.
Balonin N. A., Vostricov A.A., Sergeev M. B. Two-circulant golden ratio matrices // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 5 (71), pp. 5–11.
Balonin N. A., Seberry, Jennifer, Sergeev M.B. Three level Cretan matrices of order 37, Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, № 2 (74) 2015 , pp. 2–3.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Двуциклическая М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2014. № 2. С. 109–111.
Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
Балонин Н. А., Мироновский Л. А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно-управляющие системы. 2006, № 3. C. 46–50.
Balonin N.A., Seberry, Jennifer Two-level Cretan matrices constructed using SBIBD // Spec. Matrices № 3, 2015. pp. 186–192 Zbl 1327.05044
Jennifer Seberry. Two-variable orthogonal matrices from SBIBD // Journal of Theoretical and Computational Mathematics ISSN: 2395-6607, Vol. 1, No. 1 March 2015 pp. 58–65. (source)
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14–21.
Балонин Н. А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. 2013. № 2. С. 90–91.
Balonin N. A., Seberry, Jennifer. Remarks on extremal and maximum determinant matrices with moduli of real entries ≤ 1 // Informatsionno-upravliaiushchie sistemy, 2014, № 5 (71), pp. 2–4.

МАТРИЦЫ 16-го ПОРЯДКА





МАТРИЦЫ 20-го ПОРЯДКА




ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СИЛЬВЕСТРА





Hide

Rambler's Top100