03.11.2017 admin

1.7. Гипотеза Балонина


В предыдущих разделах предложены версии малоуровневых ортогональных матриц нечетных порядков, равных числам Мерсенна и Ферма, опирающиеся на алгоритмическое их определение.

Дадим теперь определение матриц Мерсенна, так будем, для большей простоты, их называть, опирающееся на их выявленные в процессе исследования структурные инарианты, а не на алгоритм получения, который, в общем, неизвестен.

Определение 1. Матрица Мерсенна M порядка n, это матрица с элементами {a, –b}, a>0, 0<b<a ортогональных столбцов

M'M = μ I,


где I – единичная матрица, μ = qa2/2+(q–2)b2/2, b=a/2 на случай n=3 и b=(q–(4q)1/2)a/(q–4), q=n+1 в остальных случаях, количество элементов a превалирует над –b на единицу.

Портреты двух таких матриц одиннадцатого M11, уровень b=(3–31/2)a/2, и девятнадцатого M19, уровень b=(5–51/2)a/2, порядков приведены на рис. 1.



Рисунок 1. Матрица Мерсенна M11 и M19


Эти две матрицы имеют все признаки матриц Адамара-Мерсенна, вместе с тем, они не принадлежат основной ветви n=2k–1. Существование таких матриц позволяет высказать следующее немаловажное предположение, эквивалентное гипотезе Адамара, но для нечетных значений порядков.

Гипотеза (Балонина). Матрицы Мерсенна порядков 4k – 1 существуют.

Это предположение существенно расширяет также множество следующих малоуровневых ортогональных матриц Эйлера.

Определение 2. Матрица Эйлера E порядка n, это матрица с уровнями {±a, ±b}, a>0, 0<b<a ортогональных столбцов

E'E = ε I,


где I – единичная матрица, ε = qa2/2+(q–4)b2/2, b=a/2 на случай n=3 и b=(q–(8q)1/2)a/(q–8), q=n+2 в остальных случаях, количество элементов с модулями a превалирует над остальными элементами столбцов на два.

Структурно четырехуровневые матрицы Эйлера связаны с двухуровневыми матрицами Мерсенна преобразованием Сильвестра [M,M;M,–M] с пересчетом абсолютных величин их уровней согласно предложенным выше формулам.

Выделенный класс четырехуровневых М-матриц интересен тем, что они сосуществуют с матрицами Белевича, уступая последним по m-норме. Однако, как и в случае с матрицами Белевича по отношению к матрицам Адамара, значениям их элементов отведено на единицу большее число уровней. Матрицы Белевича дополняют множество матриц Адамара в промежуточных точках числовой оси. Дополнительные малоуровневые минимаксные ортогональные матрицы возмещают, в свою очередь, пропуски матриц Белевича на порядках 22, 34, 58 и т.п., что, собственно, мотивирует выбор их названия.

На рис. 2 приведена матрица Эйлера отсутствующего у матриц Белевича 22-го порядка.



Рисунок 1. Матрица Эйлера E22

Hide

Rambler's Top100