03.11.2017 admin

2.1. Метод Прокруста


Подход, демонстрируемый формулой Сильвестра, относится к методам, рекурсивным по порядку. Другое направление мысли касается определения интересующих нас матриц как стационарных точек итерационной последовательности.

Определение 1. М-матрицей в широком смысле этого слова будем называть стационарные точки сжимающего m–норму отображения

Mi = f (Mi–1),


где f() – функция, направленая на понижение абсолютных значений элементов ортогональной матрицы.

Согласно античной легенде, гостей великанов приветливый грек Прокруст укорачивал, как известно, на ложе своим мечом, ну а карликов.. все правильно догадались – растягивал. Реализация этого действия применительно к элементам матрицы дает необходимый итерационный алгоритм.

Алгоритм Прокруста. Необходимым качеством сжимать m–норму обладает функция насыщения ее элементов f1(), см. рис. 1, дополняемая последующей ортогонализацией столбцов матрицы f2()

Mi = f2(f1(Mi–1)).


Рисунок 1. Вид функции насыщения элементов


У матриц эффективность поисковых итераций зависит от начальных условий и алгоритма перестановок столбцов, но эти факторы отнесем к вторичным.

Недостаток и, одновременно, достоинство итерационного алгоритма состоит в том, что ее продуктом может являться, в том числе, и локальный оптимум, который интересен сам по себе – именно так обнаруживаются побочные субоптимальные регулярные структуры.

Для их поиска нелинейность (функцию f1) можно варьировать, меняя, тем самым, искомые аттракторы. В частности, рекомендуется с ростом номера итерации повышать уровень насыщения. Несложно создаются: посередине – сжатие, внизу – область растяжения, см. рис. 2.


Рисунок 2. Вид нелинейной функции насыщения на разных стадиях итерационного процесса


Рассматриваемый итерационный подход к поиску М-матриц, при всей его простоте, продуцирует практически все те матрицы Адамара и Белевича, которые определили становление этого научного направления, и которые исторически были получены совсем другими способами.

Излишне аргументировать, пожалуй, ту точку зрения, что в науке ценятся альтернативные способы решения даже известных задач, не говоря о тех, которые обещают расширение существующего знания. Отметим, что в такой постановке задача, пожалуй, ставится впервые.

На множестве комплексных чисел квадратичная задача (итерации квадратичной функции) породила представления о точках бифуркации, хаотических аттракторах, фракталах Мандельброта и Джулиа и др.

На множестве ортогональных матриц квадратичная функция выступает как уравнение связи при минимизации модульного, в общем, критерия.

И в той и в другой задачах наблюдаются внешне схожие решения. Элементы матриц Адамара осциллируют, например, между двумя значениями уровней. Минимально возможное количество уровней естественным образом увеличивается, если стационарное решение такого сорта не достижимо на некоторых порядках.

Уже трехуровневые матрицы Белевича – иллюстрация этой тенденции. В отличие от матриц Адамара и Белевича, количество уровней строго минимаксных ортогональных матриц растет с ростом порядка. В некотором обобщении – порядок матрицы n выступает здесь как дискретный параметр, от которого зависит количество расщепленных уровней.

Наблюдается и своеобразная критическая точка, это тринадцатый порядок.

Некоторое не очень большое количество уровней оптимальных матриц становится на этом порядке неустранимо большим, что позволяет отнести все стартовые оригинальные М-матрицы, а их немного, это 3, 5, 7, 9 и 11 порядки, всего лишь к редким артефактам.

Критическая точка лишает этот ряд осмысленного продолжения. Тенденция на увеличение числа уровней, учитывая дискретность параметра (порядок матрицы) достаточно быстро приводит к хаотическим матрицам.

Напротив, малоуровневые матрицы, не будучи строго оптимальными, благополучно существуют дальше, по порядкам.

И осмысленный вопрос уже дальше состоит не столько в поиске строго минимаксных ортогональных матриц, сколько в том, можно ли предложить столь же устойчивые, как и малоуровневые, но более оптимальные (субоптимальные) структуры?

Опыт с матрицами Белевича говорит, что это, в общем, невозможно. Все прочие матрицы, кроме малоуровневых, будут иметь пропуски на числовой оси. Матрицы Адамара их, в пределах свой очередности, не имеют, но они, как раз, малоуровневые.

Помимо любопытных нам последовательностей одинаковых по структурным инвариантам матриц, есть еще и отдельные матрицы. Таков, например, не только тринадцатый (заметим, что это место для особой матрицы Фурье), но и десятый и пятый порядки.

Сделав необходимую преамбулу, приступим к обзору.

ФУНКЦИИ СЖАТИЯ


Hide

Rambler's Top100