03.11.2017 admin

2.2. Матрицы Прокруста


Многоуровневые М-матрицы, оптимальные в строгом смысле этого слова, стоят первыми в нашем списке артефактов благодаря критическому решению, обрывающему их ряд на 13-м порядке, тоже входящем в состав порядков особых матриц.

Задача Прокруста, матрицы Прокруста. Строго оптимальные по минимуму m-нормы матрицы будем матрицами Прокруста, их поиск представляет собой задачу, достаточно легко разрешимую на низких порядках итерационными методами. Помимо прочего, качественно решение задачи описывает следующая гипотеза.

Гипотеза. Малоуровневыми матрицами Прокруста нечетного порядка являются только первые пять матриц: A3, A5, A7, A9, A11.

1. Балонин Н.А., Мироновский Л.А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно-управляющие системы. 2006, N3. C. 46-50.

2. Балонин Н.А., Сергеев М.Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14-21.

Классифицируя эти матрицы, введем понятие регулярности. Регулярность – характерная черта латинских квадратов. Иметь в матрице семейства по n одинаковых по абсолютным величинам элементов, которые можно перестановками разместить по диагонали.

Легко заметить, что с ростом порядка n число нижних уровней оптимальных регулярных матриц подчиняется формуле

K=(n–1)/2


Некоторые матрицы, отнесем их к полурегулярным, платят за структуризацию совпадением всех или части нижних модульных уровней. Такого сорта совпадения не нарушают основную идею, если совпадающие по модулю элементы каждого столбца можно раскрасить в различные между собой цвета, при которых основное условие регулярности будет сохранено.

В семействе малоуровневых матриц нечетного порядка есть три регулярные A3, A5, A11 и две нерегулярные A7, A9 матрицы. Субоптимальные регулярные матрицы R7, R9 по m-норме прилегают очень близко к оптимальным структурам.

Матрица A3. Двухуровневая по модулям элементов М-матрица, которая в зависимости от условий ее нормировки выглядит как матрица Мерсенна или матрица Ферма.



Рисунок 1. М-матрица A3 нормированная как матрицы Мерсенна и Ферма


Матрица структуры Мерсенна имеет решение в целых числах {a, –b}, где a=2 и b=1, а матрица структуры Ферма – элементы {a, –b, s}, где a=1, b=s=2 (особый случай). Несложно заметить, что эти матрицы эквивалентны относительно операций перестановок и смены знаков строчек и столбцов. Это матрица регулярная в том смысле, что ее нижний уровень перестановками выводится на диагональ из n=3 элементов.



Рисунок 2. Гистограмма модулей элементов A3


Матрица A5. Трехуровневая по модулям элементов М-матрица, провосходящая стартовую матрицу серии Адамара-Ферма F5.



Рисунок 3. М-матрица A5 и гистограмма модулей ее элементов


Это матрица регулярная в том смысле, что каждый из двух ее нижних уровеней перестановками выводится на диагональ из n=5 элементов. Возможно целочисленное решение, поскольку урови гистограммы модулей соотносятся друг к другу как 6:3:2. В сравнении с матрицей Ферма F5 у нее повышенное число уровней.



Рисунок 4. Матрица Ферма F5 и гистограмма модулей ее элементов


Матрица A7. Пятиуровневая (вопреки ожиданиям) по модулям элементов М-матрица характеризуется эмиссией пары элементов в верхний слой с расщеплением одного из модульных уровней на два



Рисунок 5. М-матрица A7 и гистограмма модулей ее элементов


Уровни гистограммы выражаются в радикалах: e=(3–71/2)a/2, b=ae, d=e/b, с=bd, a=1, оценка нормы m=(5+7(7)1/2)/53.

Это матрица нерегулярная в том смысле, что ее нижние уровени по 6,4,3,6 элементов потеряли смысл потенциальных диагоналей из n=7 элементов, регулярная матрица существует, но она менее оптимальная. Регулярность, это тот ресурс, который принесен в жертву оптимальности. В дальнейшем оптимальность достигается за счет все большей потери у матрицы тех структурных свойств, которые отличают ее от матриц хаотических.

Матрица R7. Двухуровневая полурегулярная матрица, совпадающая с матрицей Мерсенна M7.



Рисунок 6. Матрица Мерсенна M7 и гистограмма модулей ее элементов


Матрица Прокруста A7 имеет m=0.443780, h=1.174131. Субоптимальная матрица R7 имеет элементы {a, –b}, где a=1 и b=2–21/2=0.585778. Ее m=0.445906, h=1.179757.

В доказательство регулярности, одинаковые элементы матрицы R7 подкрашены, перестановками получаем структуру, позволяющую легко менять побочную диагональ



Рисунок 7. Матрица Мерсенна M7 с додкрашенными уровнями


Матрица A9. Трехуровневая по модулям элементов М-матрица характеризуется эмиссией пары элементов с верхнего слоя на нижние, совпадает с особой матрицей Ферма F9



Рисунок 8. М-матрица A9 и гистограмма модулей ее элементов


Уровни гистограммы: d=(6(3)1/2–10)a, c=(d+a)/3, b=12*(d+4a)1/2/(d+28a)=12*(3c+3a)1/2/(3c+27a).

Это матрица нерегулярная в том смысле, что ее нижние уровени по 1,24,16 элементов потеряли смысл потенциальных диагоналей из n=9 элементов, регулярная матрица существует, но она менее оптимальная. На порядках n=3 и n=9 оптимальные матрицы совпадают с особыми матрицами Ферма.

Матрица R9. Пятиуровневая по модулям элементов регулярная матрица девятого порядка имеет четыре потенциальных диагонали из элементов нижних уровня



Рисунок 9. М-матрица R9 и гистограмма модулей ее элементов


Матрица Прокруста A9 имеет m=0.394342, h=1.183026. Субоптимальная матрица имеет элементы с модулями a=1, b=0.836499, c=0.698031, d=0.448963, e=0.117722. Ее m=0.395210, h=1.185631.

Уравнения связи уровней следующие

b*(c+e)+a*e+2*a*d-a*c-a*a=0; c*(d+a)-2*a*e-a*d+2*a*b-2*a*a=0;
d=(a*(c+2*d)+(2*c-b-a)*(c+a))*a/(a*(c+2*d)-b*(c+a)); e=(c+2*d)*a/(c+a);


Матрица A11. Шестиуровневая по модулям элементов регулярная М-матрица



Рисунок 10. М-матрица A11 и гистограмма модулей ее элементов


Характерный для фракталов "островок регулярности", после которого начинается хаос. Эта оптимальная матрица сопоставима с менее дисперсной матрицей Мерсенна M11.



Рисунок 11. Матрица Мерсенна M11 и гистограмма модулей ее элементов


Обозревая гистограммы уровней оптимальных многоуровневых матриц, несложно придти к выводу, что по профилю эти гимтограммы являются чем-то средним между одноуровневыми гистограммами матриц Адмара и щелевыми гистограммами матриц Белевича, содержащими "провал" вниз до нуля протяженностью в диагональ матрицы.

ОЦЕНКИ УРОВНЕЙ ЕЩЕ 3D-ВЕРСИИ



Hide

Rambler's Top100