03.11.2017 admin

4.6. Модели квазикристаллов


Задачи плотной упаковки имеют достаточно важные интерпретации в области физических экспериментов, в частности, относительно недавно это существенно продвинуло понимание структуры квазикристаллов. Давно отмечено, что между компактными математическими объектами и реально наблюдаемыми в физическом мире структурами есть соответствие.

Один из давних примеров на эту тему – размышление Иоганна Кеплера о шестиконечной форме снежинки, см. рис. 1. Он объяснил ее тем, что кристалл замерзшей воды строится из мельчайших одинаковых шариков, теснейшим образом присоединенных друг другу: вокруг центрального шарика можно плотно разместить только шесть таких же шариков.



Рисунок 1 – Дифракционная картина квазикристалла и симметрия снежинки


Кристалл – упорядоченная структура, состоящая из бесконечно повторяющегося фрагмента, который называется элементарной ячейкой. Систематизация сведений в отношении допустимой симметрии кристаллов выделила кристаллическую решетку – вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла, и поворотные оси второго, третьего, четвертого и шестого порядков, отвечающие совпадению фигуры с собой при повороте, соответственно, на 180, 120, 90 и 60 градусов.

Эти догмы насколько укоренились в официальной кристаллографии, что оппонирование их привело к получению Нобелевской премии 2011 года Даном Шехтманом [1], открывшим пентаграммы в экспериментах по сверхбыстрому охлаждению сплавов алюминия и марганца.

Главная заслуга ученого заключалась в том, что он не списал полученные результаты на случайность, как это делали многие до него. Подобные объекты сегодня признаны и названы квазикристаллами. Новые материалы уже используются для изготовления лезвий хирургических инструментов, особенно в глазной хирургии. Будущие перспективы очень широки, в частности, материалы с такими свойствами нужны в авиационной промышленности. Признанию открытия способствовали опыты британского математика Р. Пенроуза с двумя ромбами – плитками Пенроуза, построенными на пропорциях золотого сечения.

История любого открытия, как водится, начинается издалека. В Кембридже еще с подачи Роуза Болла давно популярны разделы математики, тесно примыкающие к решению геометрических головоломок, связанных с проблемой "замощения" плоскости элементарными фигурами – равнобедренными треугольниками, прямоугольниками, шестиугольниками, и т.п..

Пенроуз, который защитил свою докторскую диссертацию в области алгебраической геометрии, заинтересовала проблема замощения плоскости без порождения повторяющихся узоров. Эту задачу он решил, выделив в качестве базиса пару ромбов, получаемых парным сложением "золотого треугольника" с углами 36 и 144 градуса, он назвал их Kite и Dart ("воздушный змей" и "дротик").

"Мозаики Пенроуза" стали предметом пристального изучения, поскольку демонстрируют множество примечательных свойств: количество укладываемых плиток постоянно пребывает в соотношении, близком к золотой пропорции; получающиеся узоры "квазисимметричны" и имеют ось симметрии пятого порядка; структура рисунков мозаики тесно связана с последовательностью Фибоначчи и т.д. и т.п.

Эта тема так или иначе должна была всплыть при обозрении матриц, и она действительно дает себя знать матрицей золотого сечения G10, внешне похожей на матрицу Эйлера.



Рисунок 2. Матрица G10 и гистограмма модулей ее элементов


Новый артефакт интересен тем, что содержит элементы {±a, ±b}, a=1, b является корнем следующего характеристического уравнения

b2+b–1=0


Значения корней b=(51.2–1)/2=0.618.. или b=–(51.2+1)/2=–1.618.. отвечают числам знаменитой золотой пропорции.

Стоит обратить внимание и на тринадцатый "критический" порядок. По сложившейся классификациии этот порядок – место для следующей после F9 особой матрицы Ферма F13. Такая двухуровневая претендентная субоптимальная матрица действительно существует, хотя полного структурного совпадения не наблюдается, см. рис. 3.



Рисунок 3. Матрица близкая к Ферма F13 и гистограмма модулей ее элементов


Она интересна в теории тем, что при внимательном рассмотрении в ней можно заметить присутствие девяти клеток Мерсенна третьего порядка двух выделенных ранее типов симметрий, причем избавиться от двухэлементности перестановками в принципе невозможно. Сами по себе эти клетки тоже поторяют трилистник матриц Мерсенна.



Рисунок 4. Два типа симметрий матриц Мерсенна

Hide

Rambler's Top100