03.11.2017 admin

2.5. Матрицы Прокла


Историческая справка. Прокл Диадох – греческий математик и филосов, разрабатывавший концепцию о том, что числа – мост между двумя началами: умом и чувственным восприятием. Диадох отвергал пятый элемент как ненужный, сторонник чрезмерного лаконизма.

В теории ортогональных матриц порядка четных порядков n=4k+2 есть две последовательности: оптимальных и субоптимальных матриц Белевича и Эйлера, соответственно. Довольно важным представляется вопрос о том, нет ли между ними промежуточной ветви, не являются ли гарантированно существующие матрицы Эйлера избыточными по m-норме.

Ответ дают компромиссные матрицы, приближающиеся по гистограмме уровней их элементов к матрицам Белевича.

Положение 1. Матрицы Прокла P с уровнями {±a, ±b}, a>0, 0<b<a порождаются матрицами Эйлера, условию ортогональности столбцов отвечает значение элементов b=1 внедиагональных блоков, у диагональных блоков абсолютное значение нижнего уровня понижается до b=0 при n=6, в остальных случаях уравнение связи уровней

(q–8)b2–2qab+(q–8)a2=0


имеет решение b=(q–4*(q–4)1/2)a/(q–8), где q=n+2 должно быть кратно 8.

Матрица Прокла P6 совпадает с диагональной матрицей Белевича C6 с точностью до порядка следования ее столбцов, см. рис. 1. Во всех остальных случаях она повторяет структуру матрицы Эйлера, имея вдвое более узкий и глубокий нижний уровень. Порядки этих матриц идут через 8 (а не через 4), каждая вторая матрица Эйлера может быть ими улучшена.



Рисунок 1. Матрицы Эйлера E6 и Прокла P6


Гистограммы модулей элементов стартовых матриц Эйлера и Прокла-Белевича шестого порядка приведены на рис. 2.



Рисунок 2. Гистограмма модулей элементов матриц Эйлера E6 и Прокла-Белевича P6


К матрице Прокла сводима каждая вторая матрица Эйлера – промежуточные по отношению к ним матрицы разлагаются на большее число уровней. На десятом и восемнадцатом порядках можно наблюдать большое количество многоуровневых структур, промежуточных между матрицами Эйлера и Белевича. Критические порядки матриц Белевича равны 22, 34, 58 и т.п., второй и третий пропуски среди этих матриц не могут быть закрыты матрицами Прокла.

Матрицы Прокла представляют собой тенденцию сужения и опускания нижнего уровня, которая на нечетных порядках приводит к сугубо оптимальным многоуровневым матрицам Прокруста. Данная в более слабом своем выражении, она не приводит к потере матрицами свойства симметрии. Симметрия, это тоже ресурс понижения нормы, и на 22-м критичном порядке он этими компромиссными матрицами не использован.


Hide

Rambler's Top100