03.11.2017 admin

3.6. Переборные процедуры


Переборные методы поиска М-матриц сводятся к использованию структурных инвариантов матриц, к которым они гипотетически принадлежат, в частности, латинских квадратов – структур, которую выделил еще Эйлер. Латинский квадрат – теплицева, сдвиговая, но не симметричная матрицы, например,

L=
1
3
2
2
1
3
3
2
1


Характерна она тем, что ни один элемент столбца или строки не повторяется дважды. Иными словами, каждый такой слой одинаковых элементов – потенциальная диагональ, получаемая как реальная перестановками.

Предположим, что искомая матрица обладает такой структурой модулей abс... ее элементов, причем она неполный латинский квадрат в том смысле, что около половины модульных уровней, обозначаемых как a, совпадают по численным своим значениям. Регулярные матрицы порядка n содержат не n, а только K=(n–1)/2 потенциальных диагоналей матрицы.

Этих признаков достаточно, чтобы выделить, например, нормализованную структуру

A=
 b 
 a 
 a 
 a 
 ±b 
 ±a 
 a 
 ±a 
 ±b 


Условие ортогональности первых двух столбцов: ab±ba±aa=0 при a>0 и дает 2b=a, если оставить у нижнего элемента второго столбца знак минус. Это то самое целочисленное решение a=2, b=1, которое итерационный алгоритм Прокруста находит как устойчивый аттрактор.

При всей простоте метода, такими решениями не стоит пренебрегать, поскольку они дают базовые структуры, в частности, это матрица Ферма F3.

F3=
 b 
 a 
 a 
 a 
 b 
 –a 
 a 
 –a 
 b 


Элементарными преобразованиями эта матрица сводима к циклической

M3=
 –b 
 a 
 a 
 a 
 –b 
 a 
 a 
 a 
 –b 


Суммы элементов строк и столбцов у этой матрицы Мерсенна постоянны и равны 3, т.е. она еще и неполный магический квадрат.

С матрицей пятого порядка все тоже очень интересно, циклическая по абсолютным значениям элементов регулярная матрица имеет вид

A=
 c 
 a 
 a 
 a 
 b 
 b 
 ±c 
 ±a 
 ±a 
 ±a 
 a 
 ±b 
 ±c 
 ±a 
 ±a 
 a 
 ±a 
 ±b 
 ±c 
 ±a 
 a 
 ±a 
 ±a 
 ±b 
 ±c 


Условие ортогональности первых двух столбцов приводит к комбинаторному уравнению

ac±cb±ba±aa±aa=0,


пусть ±aa±aa уйдет в 0 (как самое большое слагаемое), ba компенсируется суммой ba=ac+cb, так как c – самое малый уровень. Из ортогональности первого и третьего столбцов имеем второе комбинаторное уравнение

ac±ab±ca±ba±aa=0,



достаточное для нахождения отношений всех уровней: предположим, что ac±ca=0, отсюда сразу получаем 2b=a и, с учетом первого уравнения, c=ba/(a+b)=a/3.

Циклическая целочисленная матрица имеет уровни a=6, b=3, c=2, и принимает, после выравнивания знаков на диагонали, вид

A5=
2
6
6
 –6 
3
3
2
6
6
 –6 
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2


Суммы элементов строк и столбцов матрицы Прокруста постоянны и равны 11, это тоже неполный магический квадрат.

Hide

Rambler's Top100