СПЕКТР МАТРИЦЫ

Смотрите также: РЕЗОЛЬВЕНТА, УРАВНЕНИЯ СИНТЕЗА, МЕРЫ ДОМИНИРОВАНИЯ


Собственное значение λ матрицы A – это коэффициент усиления ее собственного вектора S(λ), последний определяется как вектор, сохраняющий свое направление в пространстве при умножении на матрицу

A S(λ) = λ S(λ).


Это уравнение можно переписать относительно искомого собственного вектора

(A – λI) S(λ) = 0.


Тривиальное решение S(λ) = (A – λI)–1 0 = 0 нас не интересует, по определению, а нетривиальные возможны лишь при условии, что (A – λI) невырождена, то есть

det(A – λI) ≠ 0.


Это условие называется характеристическим уравнением матрицы, в правой части – полином от λ порядка n, n – порядок матрицы. Отсюда следует, что каждая матрица имеет не более, чем n собственных значений.

Спектром матрицы называется совокупность всех ее собственных значений, собираемых, обычно, в диагональную матрицу D=diag(λ1, ..., λn), отвечающую матрице S=[S1, ..., Sn] всех ее собственных векторов: A S = S D.

Спектральное разложение матрицы A отвечает сведению ее к диагональной матрице D с комплексными, в общем, собственными числами

D = S–1 A S.


В вещественном представлении спектральной матрицы D блоки с парами комплексных собственных чисел λ=α±jω заменяются на блоки вида [α ω;–ω α], а в матрице T идут подряд вещественная и мнимая составляющая собственного вектора.

Поиск собственных значений называется алгебраической проблемой собственных чисел, для ее решения привлекаются итерационные методы линейной алгебры, используемые в процедуре D=eig(A). Собственные векторы возвращает S=eigv(A).

Rambler's Top100