УРАВНЕНИЯ МОДАЛЬНОГО СИНТЕЗА

Смотрите также: СПЕКТР, РЕЗОЛЬВЕНТА, МЕРЫ ДОМИНИРОВАНИЯ

Рассмотрим систему в пространстве состояний

x'=Ax+Bu, y=cx,


где x – вектор состояния в Rn, u=u(t) – входной сигнал (скаляр или вектор), y=y(t) – реакция на него.

Спектр матрица Q=A–BK замкнутой динамической системы зависит от назначаемой матрицы K обратных связей модального регулятора u=–Kx (или наблюдающего устройства, эти задачи двойственны).

Пусть Q=SDS–1 – спектральное разложение матрицы Q, где D – диагональная матрица ее собственных значений, S – столбцовая матрица собственных векторов. Напомним, что левыми собственными векторами называют вектор-строки инверсной матрицы S–1.

Cистема с матрицей Q=A–bK, при скалярном входе b=Bm (m – весовые множители) эквивалентна системе с расширенной матрицей входа B=[b b ... b], когда количество входов равно размерности вектора состояния, но все вектор-столбцы одинаковы, причем A–Q=B K, K – матрица расширенного регулятора. Пусть

AS–SD=[b b ... b],


т.е. KS – единичная матрица, K=S–1. В силу линейности система с одним входом зависит от обратной связи u=–Kx, K=[1 1 ... 1]S–1 равна сумме левых векторов Q. Если регулятор не меняет спектр и собственные векторы матрицы A, матричное уравнение представляет собой спектральное разложение матрицы A: AS–SD=0, A=SDS–1.

Собственный вектор матрицы Q задается неоднородным уравнением

(A – λ1 I) S1 = b, (A – λ2 I) S2 = b, ..


которое при b=0 описывает собственные векторы матрицы A. Годограф собственных векторов матрицы Q называется ее резольвентой, он содержит сингулярности (разрывы) в точках спектра матрицы A.

Если меняется только часть спектра матрицы A, то B=[b b ... b, 0, 0, ..., 0], нулевые столбцы отвечают неизменяемым собственным векторам.

Значение резольвенты подчеркивается тем, что вектор-строка коэффициентов обратных связей K модального регулятора u=–Kx равна сумме левых собственных векторов Q, отвечающих ее отличным от спектра матрицы A собственным значениям.

При изменении только одного собственного значения, матрица K равна соответствуюшему левому собственному вектору Q.

Вектор столбец эквивалентного входа b=Bm (не стоит путать его со столбцами матрицы B) может быть единым для всех изменяемых собственных значений, но у многосвязных систем на решение можно повлиять, назначая его индивидуально. Одна из осмысленных и вполне достижимых целей при выборе эквивалентного входа, состоит в сближении собственных векторов матриц A и Q.

Вообще говоря, существует и такой вариант постановки задачи, как управление собственными векторами Q при неизменном ее спектре, совпадающем с A. Этот случай должен разбираться отдельно.

Rambler's Top100