ПРИМЕРЫ К СИСТЕМЕ МАТЛАБ


В арифметике с комплексными числами изменений алгоритма никаких (аккуратнее с нормированием комплексных собственных векторов!). Матрица обратных связей u=–Kx имеет вид K=B'v*v'Δ/μ, где Δ – величина изменения собственного значения, v' – вектор-строка (левый собственный вектор), v* – сопряженный левый собственный вектор, μ – мера модального доминирования μ=v'BB'v* (вещественное число). Перемещать собственные числа нужно комплексно-сопряженными парами.

Рассмотрим систему второго порядка с парой комплексных собственных значений матрицы A, система избыточна по ресурсам управления, входов два. Необходимо оптимизировать матрицу обратных связей и разместить спектр в желаемом положении λ1, λ2.

Расчет, при изменении пары собственных значений, состоит в вычислении пары собственных векторов матрицы замкнутой системы Q и их последующем использовании

(A – λ1E)S1 = BM1, (A – λ2E)S2 = BM2,


где S = [S1 S2] – матрица собственных векторов Q, настраиваемые векторные множители образуют матрицу M = (M1 M2), их рекомендуемые в [1] значения M1=BTV*1, M2=BTV*2 берут в расчет сопряженные компоненты левых собственных векторов V1, V1 матрицы A. Матрица обратных связей модального регулятора K = MS–1.



Расчет матрицы более большого порядка ничем принципиально не отличается от расчета системы второго порядка, за исключением того, что надо анализировать спектр, перед его перемещением, на комплексность, и задавать смещенные вещественные собственные значения, или комплексные – адекватными комплексно сопряженными парами.

Алгоритм прост, он рабоче-ознакомительный, имеет некоторое ограничение то, что при слишком малом смещении начинает ощущаться почти вырожденность матриц A – λ1E, A – λ2E (возникают большие числа). Для практики малых перемещений алгоритм надо писать аккуратнее, более полно используя разложение A.

Разновидность этого алгоритма оперирует выделенным субблоком бинарных разностей двух комплексных точек спектра (т.е. размер инвертируемого блока резко сужается), расширение порядка задачи потребует, соответственно, акцентировать не только блоки комплексно-сопряженных собственных значений, но и селектировать, при расчете K отвечающие им блоки левых собственных векторов V (по два).



В исполняемых в сети алгоритмах этот фрагмент кода выглядит следующим образом – рассмотрим перемещение пары комплексных собственных чисел и одного вещественного.

Простейший итерационный алгоритм, подгоняющий собственные значения влево и к вещественной оси, пример цикла модального синтеза по мерам.



ПРИМЕР К СТАТЬЕ КАУТСКОГО и Ко


В статье [2] не приводятся итоговые обратные связи. Поскольку задача имеет неединственное решение, все внимание авторов захватывают интересующие их операторные нормы, оптимизируя которые они избавляются от неединственности.

Какой-либо идеи выбора спектра, разумеется, нет, это очередной выбор одной матрицы К из множества возможных, метод, соответственно, работоспособен только на податливом материале. За материалом дело не стало.

Пример 1. Химический реактор. Мунро 1979 год. Стр 1149.

Собственные значения –8.666, –5.057, 1.991, 0.06351, им отвечают меры модального доминирования 10.53, 62.79, 9.48, 77.6. Выход никак не отмечен, все переменные состояния существенны, и модель неплохо сбалансирована в смысле значимости всех мод.

Пара положительных последних собственных значений говорит о неустойчивости системы и потребна утилитарная стабилизация. Взяли хорошо управляемые моды, оттащили налево, и бросили, как кули с мукой. Куда то туда. В угол. Что, судя по мерам доминирования, беспроблемно решается смещением мод до положений –0.2, –0.5.

Статья освещает диссонансно (примитивному то приложению, что выше) громоздкий алгоритм синтеза многосвязной системы, между тем, разминка с хорошо управляемыми собственными значениями не составляет серьезного труда парой тривиальнейших смещений d3=1.991+0.2, d4=0.06351+0.5. Пример переведен на язык данного сетевого инструмента.


Оптимизировать K, раз она не одна, разумеется надо. Но не стоило бы спекулировать при этом термином робастность. Отделить от обильного плохого по норме обильное хорошее, невелик подвиг. Это естественно. Кто же плохое будет брать, и в чем, тогда, робастность? В том, что люди руку себе не отрубили, особой робастности нет. Так поступают все нормальные люди. Никаких "особых" качеств "робастности" метод решению не придает. В системе MatLab выбран этот метод для команды place(), очевидно, в силу его всеядности.

Литература

1. Балонин Н.А. Новый курс теории управления движением – СПб.: Из-во С.-Петерб. ун-та, 2000, 160 с.
2. Kautsky, J., N.K. Nichols, and P. Van Dooren, "Robust Pole Assignment in Linear State Feedback," International Journal of Control, 41 (1985), pp. 1129-1155.
3. place() MathWorks Inc


Rambler's Top100