МЕРЫ МОДАЛЬНОГО ДОМИНИРОВАНИЯ


Смотрите также: СПЕКТР, РЕЗОЛЬВЕНТА, УРАВНЕНИЯ СИНТЕЗА

Матрица обратных связей u=–Kx имеет вид K=B'vv'Q, т.е.

K=B'vv'Δ/μ,



где Δ – величина изменения собственного значения, μ – мера модального доминирования μ=v'BB'v, vQ – левый собственный вектор Q=SΛS–1 (его дает строка S–1), коллинеарнный левому собственному вектору v матрицы A=TDT–1 (его дает строка матрицы V=T–1), т.е. vQ=vΔ/μ.

Минимальная норма матрицы обратных связей прямо пропорциональна величине изменения спектра Δ и обратно пропорциональна мере доминирования (которую заранее можно посчитать).

Стоит отметить насущность вопроса вдумчивого масштабирования амплитуд мер модального доминирования (функций, расширяющих слишком узкую дихотомию критерия управляемости), связанного с масштабированием компонент вектора управления, отражающемся на нормах столбцов матрицы B. На практике это некие физические величины, каждая со своим ресурсом потенциального изменения, лежащего в зоне линейности.

Доказательство формулы. Собственный вектор одиночного варьируемого собственного значения описывается резольвентой

S(λ)=(A–λI)–1Bm,


где неопределенный пока множитель m – нормированный вектор варьируемых коэффициентов. Вектор b=Bm можно изменять, оптимизируя тем самым норму K.

Данное выделение реально, если BKS=[Bm 0... 0], здесь K – матрица обратных связей многосвязной системы, S=[S(λ1) S(λ2) ...] – матрица собственных векторов Q=A–BK. Учтем, что матрицы собственных векторов T и S матриц A и Q, соответственно, отличаются только одним изменяемым собственным вектором S(λ). Помимо того S–1S=I (единичная матрица).

Следовательно левые собственные векторы матриц A и Q, отвечающие варьируемому собственному значению, ортогональны прочим собственным векторам A, т.е. они коллинеарны между собой. Если известен нормированный левый собственный вектор-строка v'=T–11 матрицы A, то v'Q=S–11=kT–11.

Найдем коэффициент пересчета k левых собственных векторов. Заметим, что S–11S1=1, причем S1=(A–λI)–1b, имеем S–11(A–λI)–1b=1. Учитывая ортогональность S–11 собственным векторам A, последнее выражение упрощается до S–11b/(a–λ)=1, a – собственное значение A. Отсюда

k=(a–λ)/T–11b.


Матрица обратных связей линейного регулятора, действующего через вход b=Bm, равна левому собственному вектору Q, т.е. kT–11, k – это норма корректирующих матрицу A коэффициентов. Минимальное по норме решение соответствует случаю максимальному значению делителя T–11b, т.е. максимуму скалярного произведения T–11Bm, где m – вектор-строка произвольно назначаемых коэффициентов. Оптимум достигается на значении m=(T–11B)' (сопряжение, для комплексных собственных векторов).

Матрица K, в свою очередь, равна произведению выбираемого множителя весовых коэффициентов m на левый собственный вектор матрицы Q (первую строку S–1). При единичном изменении спектра |a–λ|=1 величина, которой обратно пропорциональна норма матрицы обратных связей, дает меру модального доминирования

μ=T–11b=T–11BB'(T–11)'


Rambler's Top100