ВВОДНАЯ ГЛАВА



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


В теории сигналов давно практикуется разложение сигналов в непрерывный и дискретный спектры, в первом случае привлекается аппарат интегрального исчисления, во втором случае – суммы ряда гармонических функций Фурье.

В теории систем дискретная форма спектральной характеристики непрерывной системы не сложилась, понятие дискретной частотной характеристики (ДЧХ) отсутствует. Пояснить данное обстоятельство можно тем, что на ограниченном интервале времени элементарные гармоники, проходящие через систему, помимо вынужденной составляющей, возбуждают функции так называемого свободного движения системы. Таким образом, выходной сигнал системы, если его разложить по тем же самым гармоникам, что и входной, не обнаруживает простой преемственности, необходимой для использования.

Выход из этого положения для систем, описываемых оператором свертки, рассмотрен в работах [1–3]. В них указывается, что для любого наперед заданного интервала времени T, можно указать не гармонику, а некоторые алгебраические суммы гармоник (полигармонический сигнал), отличающиеся от прочих сигналов тем, что возбуждаемые компонентами набора свободные составляющие компенсируют друг–друга. Частоты дискретны, поскольку компенсация возможна только при определенных частотах. У каждой системы – свой набор частот.



Матрицы теплицева оператора свертки и симметричного ганкелева оператора


Известно, что разница между интегральным и дискретным (матричным) описаниями линейных динамических систем невелика, существуют теплицева матрица описания оператора свертки и ганкелева матрица связанного с ним симметричного оператора. Называемого симметричной частью оператора свертки.

Особенно просто качество сигнала проходить без искажения формы реализуется и наглядно видно в примерах, если рассматривать входной или выходной сигналы системы в инверсном времени τ=T–t. Такая сумма гармоник может интерпретироваться как аналог гармоничного сигнала, действующего на конечном интервале времени. Поскольку входной сигнал (описываемый в инверсном времени) проходит через систему без искажений, то в лице коэффициентов пропускания, перед нами полный аналог дискретной частотной характеристики (ДЧХ), описываемой собственными значениями, зависящими от частоты.

Определение 1 (Собственная функция). Не искажаемый системой входной сигнал (при сравнении вход или выход инвертируется во времени), по аналогии с собственным вектором матриц, назовем собственной функцией линейной динамической системы [1].

В силу новизны, собственные функции, например, элементарных динамических звеньев не известны даже среди специалистов по динамике. При этом, математическое описание систем вполне классическое, поскольку линейные динамические системы, как и матрицы, разумеется, должны обладать базисом собственных функций. Анализ частотных характеристик флипа (линейного оператора инверсии сигнала во времени) позволяет найти аналитическое описание собственных функций элементарных звеньев динамических систем.

Определение 2 (Собственное значение). Коэффициент усиления λ сигнала в виде собственной функции назовем собственным значением линейной динамической системы [1].

Совокупность собственных значений динамической системы называется ее спектром. Этот спектр отличен от спектра матрицы пространства состояний тем, что он, в принципе, бесконечен.

При увеличении интервала времени линии линейчатого спектра сгущаются, а собственные функции описываются синусоидами (частоты не разнесены), в пределе. Компенсационные поправки более не требуются. Но бесконечный интервал – абстракция, ценная лишь упрощением выкладок. На конечном интервале времени, также, как и на бесконечном, форма базисного сигнала не искажается. Различие между интервалами состоит лишь в том, что в первом случае синусоида смещается, что дает почву для введения помимо АЧХ еще и фазо-частотной характеристики, а во втором случае сигнал инвертируется во времени: коэффициент передачи в обоих таких случаях ищется по отношениям амплитуд на входе и на выходе.

Разложение входного сигнала в ряд Фурье по собственным функциям, в сочетании с ДЧХ, дает весьма простой способ, наследуемый у АЧХ, описания процесса прохождения сигнала через систему на ограниченном промежутке времени. АЧХ и ДЧХ связаны, как связаны непрерывный и дискретный спектры сигналов.

Стоит отметить, что выбор вариантов разложения сигнала по базисным функциям не осложнен необходимостью компенсации, таким образом, теория дискретных частотных характеристик динамических систем не может быть заимствована в теории сигналов. Она образует самостоятельный раздел общей теории частотных характеристик систем и сигналов.

ПРИМЕЧАНИЕ. Воздействие u и начальное состояние x0, это два разных по характеру входа. В операторной форме модель динамической системы описывается уравнением с двумя возбуждениями

y=Su+Dx0


Задачи на собственные векторы или собственные функции берут во внимание только один аргумент, второй должен быть задан. В частности, берется нулевое начальное состояние. Можно устранить, напротив, первый источник независимого воздействия, связав его отрицательной обратной связью u=–y, тогда y=(I+S)–1Dx0. Пусть y=λFx0, уравнение

(I+SK)–1Dx0=λFx0



вводит в рассмотрение задачу на обобщенные собственные значения λ и отвечающие им собственные векторы x0 (искомые начальные состояния).

Задачи на собственные значения и собственные функции возникли при рассмотрении систем без явно выраженного входа в процессе изучения колебания маятников, струн и мембран. Возьмем маятник, его колебания приближенно описываются моделью в виде пары замкнутых отрицательной обратной связью u=–y интеграторов. Начальные условия периодически воспроизводятся системой, имеем xT=x0=Sx0 на цикле колебания. Это схема напоминает схему итерационного натурного эксперимента по отысканию "собственного вектора".

Задача Штурма-Лиувилля. Поскольку в ТАУ собственные функции обойдены вниманием, интересен вклад физиков. Для нестационарных систем второго порядка подобная задача изучена Ж. Лиувиллем и Ж.Ш.Ф. Штурмом еще в середине XIX века. Задача состоит в отыскании значений параметра λ, при котором на промежутке времени Т существуют собственные функции – нетривиальные (т.е. отличные от тождественного нуля) решения линейного однородного нестационарного уравнения

L[y]+λρ(t)y=0


где L[y]=d/dt[p(t)dy/dt]–q(t)y(t) – оператор Штурма–Лиувилля (или оператор Шрёдингера), заданы граничные условия α1y'(0)+β1y(0)=0, α2y'(T)+β2y(T)=0; α1212≠0, α2222≠0. Функции p(t), p'(t), q(t), предполагаются непрерывными, кроме того, функции p(t), ρ(t) положительны.

Собственные функции, находимые из краевых условий, отвечают дифференциальному или интегральному оператору с ядром, называемым функцией Грина. Многочлены Лежандра и прочие ортогональные функции также удобно классифицировать как некоторые собственные функции соответствующих операторов. В задачах математической физики нет требования стационарности – для нестационарных линейных систем матрица линейного оператора теряет теплицев вид. Такой подход позволяет решить только относительно простую задачу.

Теория автоматического регулирования (ТАР) обособилась от задач теоретической электротехники и математической физики тем именно, что в отличие от законов Кирхгофа, действующих для электрических цепей, в ТАР следующее звено не нагружает предыдущее, тогда как у резистивной цепочки коэффициент передачи каждого звена зависит от длины цепочки. ТАР оперирует более простым описанием. Поэтому с ДЧХ можно продвинуться дальше того, с чем возятся физики и электротехники. Их собственные функции выведены для весьма частных задач.

1. Балонин Н.А. Компьютерные методы анализа линейных динамических систем / Н.А. Балонин // Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. – 2008. – 400 с.
2. Balonin N.A., Mironovskii L.A. Spectral Characteristics of the Linear Systems over a Bounded Interval // A&T N2, 1997, P. 3–22. (in English)
3. Балонин Н.А., Мироновский Л. А. Спектральные характеристики линейных систем на ограниченном интервале времени // АиТ N6, 2002. C. 3–22 (in Russian)

Rambler's Top100