АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Для систем первого порядка с q(0)=0, имеем f(0)=0, отсюда следует, что фаза сингулярной функции равна 0, старшие собственные функции таких систем имеют вид

f(t)=sin(ωt).


Для Q(p)=1/(p+b) корни характеристического уравнения имеют вид ωi=(1/λi2b2)½.

Пример (матричного эксперимента) 1. Главное собственное значение λ=0.177 звена с коэффициентом b=5 на интервале T=1 проверим матричным экспериментом.

Пример (натурного эксперимента) 2. Проверим главную собственную функцию того же самого звена натурным экспериментом.

Локализация частот. Для апериодического звена Q(p)=1/(p+b) квадратичный коэффициент усиления гармоник λ2=R(p)=Q(p)Q(–p)=1/(b2p2), пусть p=α+jω, тогда

R(α+jω)=1/(b2–α22–2jαω).


Мнимая часть этой функции равна нулю, если α или ω равны нулю, то есть в расчет берется либо мнимая (гармоники – парные синусоиды), либо вещественная оси. Других гармоник быть не может. В первом случае ганкелева сингулярная функция представляет собой синусоиду f(t)=sin(ωt), во втором случае – гиперболическую функцию f(t)=sh(αt).

Рассмотрим срезы обобщенной амплитудной частотной характеристики R(p)½ вдоль вещественной оси, для круговых гармоник строится обычная АЧХ, зависящая от частоты ω.


Сечение АЧХ на уровне модулей собственных значений для интервала T=1 дает частоты ω главной и первых собственных функций.

Характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение звена c передаточной функцией Q(p)=1/(p+b) имеет вид

tg(ωT)+ω/b=0,


где выражение ωi=(1/λi2b2)½ получено из условий амплитудного баланса.

Статический коэффициент усиления Q(0)=0.2 ограничивает область поисков корней нелинейного уравнения 0<|λ|<0.2. По мере приближению к началу координат точки спектра сгущаются и становятся плохо различимыми, для интервала T=1 значение главного собственного числа λ=0.177. Расчет точек спектра для отрицательных значений λ не повышает этот показатель (максимально достижимое усиление резонансного сигнала).

Альтернативные формы. При численном решении нелинейных уравнений точность определения корней зависит как от используемой формы записи, поэтому с вычислительной точки зрения эквивалентные уравнения, например, вида ωcos(ωT)/b+sin(ωT)=0 или cos(ωT)+bsin(ωT)/ω=0, не одинаковы по достигаемой в вычислениях точности.




Аппроксимационные формулы. Помимо точных формул для определения главного ганкелева числа возможно выведение аппроксимационных зависимостей: cos(ωT)+λb=0.

Неустойчивая система. Альтернативная форма характеристического уравнения при положительных значениях λ имеет вид

arctg(ω/b)+Tω=π, arth(α/b)+Tα=0.


В отличие от устойчивой, неустойчивая система с b<0 на отрезке T>b, помимо младших синусоидальных имеет одну главную гиперболическую собственную функцию f(t)=sh(αt), где α=(b2–1/λ2)½, параметр находим из второго уравнения. В компьютерном анализе уравнения машиной обычно учитывается только основное значение арктангенса, поэтому и собственное число возвращается одно (главное).

Матричный эксперимент для неустойчивой системы (термин "неустойчивая" означает здесь всего лишь положение полюса в правой части).

Натурный эксперимент


Обобщенная частотная характеристика R(α)½=1/(b2–α2)½ дана сечениями вдоль осей α и ω, зеркально пристыкованных друг к другу. Случай α>b исключен условиями существования вещественного значения корня.

Вывод основных закономерностей. Звенья первого порядка сложнее для анализа появлением гиперболической гармоники, главной для неустойчивых систем.

1) Уравнения амплитудного баланса для синусоидальных и гиперболических гармоник (второе справедливо для собственных чисел, превышающих статический коэффициент усиления звена) имеют вид

R(jω)=1/(b22)=λ2, R(α)=1/(b2–α2)=λ2.


Отсюда получаем зависимости ω=(1/λ2b2)½, α=(b2–1/λ2)½, которые следует подставлять в уравнение фазового баланса.

2) Фазовая характеристика звена имеет вид φ(ω)=–arctg(ω/b). Фазовая характеристика для гиперболических гармоник φ(α)=–arth(α/b) не описывает смену знака гармоники при b<0 (знак при гармонике не может быть учтен аддитивными добавками в выражение для фазы).

Фазовые характеристики флип-оператора имеют вид ψ(ω)=π–ωT и ψ(α)=–αT, последняя формула не учитывает смену знака гармоники при b<0, знак выписывается отдельно. Отсюда получаем пару уравнений фазового баланса для периодического и апериодического режимов

–arctg(ω/b)+π–ωT=arg(λ), –arth(α/b)–αT=0,


которые, после подстановки частот, порождают характеристические уравнения. Второе уравнение дает единственное решение при T>|b|, b<0, что дает α гиперболической главной собственной функции неустойчивой системы. Все остальные гармоники – синусоидальные.

Rambler's Top100