ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЧАСТОТ



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


В теории автоматического управления существует тема локализации собственных значений матрицы, упрощающая их поиск и анализ систем. То же самое относится к собственным частотам, определяющим коэффициенты характеристического полинома бесконечномерной ганкелевой матрицы H и гармоники сингулярной функции.

Классическая амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) динамической системы определяется, в общем, функцией A(ω)=R(jω)½, где R(p)=Q(p)Q(–p).



Модуль R(p) интегратора


Срез вдоль вещественной оси A(α)=| R(α) |½ дает коэффициенты усиления гиперболических гармоник, срез вдоль осей частот A(ω)=R(jω)½ дает коэффициенты усиления круговых гармоник.



Вещественная и мнимая части R(p) интегратора


Отметим, что Re R(p) интегратора, равная квадратам коэффициентов пропускания λ2 негативна, соответственно, у интегратора нет гиперболических собственных функций.



Модуль R(p) апериодического звена, виды среза по осям ω и α



Квадрат коэффициента усиления λ2=R(p)=Q(p)Q(–p) периодических, гиперболических и прочих парциальных гармоник в прочих более общих разрешимых случаях также должен быть вещественным. Отсюда получаем два условия для локализации разрешимых значений p

Im(R(p))=0, Re(R(p))=λ2≥0.


где случай p=jω является важным, но частным, когда параметры гармоник ищут на мнимой оси и абсолютные значения собственных чисел λ лежат на ординарной АЧХ. С учетом Q(p)=a(p)/b(p), уравнение локализации частот гармоник имеет вид

λ2a(p)a(–p) – b(p)b(–p)=0,


в него входят четные степени p, поэтому расположение корней этого уравнения на комплексной плоскости характеризуется центральной симметрией. Линии, проходящие через них, удовлетворяют выписанным выше условиям локализации.

Уравнение амплитудного баланса, выписанное выше, связывает параметры гармоник, условно назовем их частоты (так как гиперболические синусы не относятся к периодическим функциям) со значением коэффициента усиления λ. Значение которого зависит, в свою очередь, от начальных условий, выделяющих (конкретизирующих) семейства собственных функций и уравнения фазового баланса, следующего из свойств собственной функции (не менять форму при прохождении через систему).

Общее число комплексных корней p равно 2n, где n – порядок передаточной функции, они продуцируют (после попарного объединения, продемонстрированного еще Эйлером) n вещественных гармоник: синусов, гиперболических синусов, и сходных с ними. Условные частоты вторых α лежат на характеристике A(α)=R(α)½, аналоге АЧХ для гиперболических составляющих вида sh(αt+θ).

Rambler's Top100