ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЧХ



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Численные методы имеют то преимущество, что они дают дискретный спектр элементарных звеньев (собственные числа и собственные функции) посредством обращения к стандартной процедуре поиска собственных чисел и собственных векторов.


Исходно несимметричный теплицев оператор оператор предварительно симметрируется, например, как ниже, инверсией входного сигнала.



Теплицева (оператор свертки) и ганкелева (симметричный оператор) формы


Существуют два метода перехода от несимметричного теплицевого оператора свертки к симметричным ганкелевым его представлениям. Один из них связан с инверсией по времени входного сигнала, второй – выходного.



Два ганкелевых оператора системы для инверсий по входу или по выходу


Заметим, что этот ганкелев оператор никоим образом не связан с разделением интервалов времени подачи воздействия и реакции на него. Спектр такого гакелева оператора дискретен, но не ограничен порядком динамической системы, его можно найти тривиальным обращением к процедуре поиска собственных значений, ниже выведем их модули. Заметим, что знаки собственных значений для ДЧХ играют роль фазовой характеристики.


В силу монотонности амплитудной составляющей спектральной характеристики апериодического звена (и интегратора), его собственные функции упорядочены по частоте, что несложно видеть по флуктуациям в колонках матрицы собственных векторов.



Матрицы собственных чисел и собственных векторов


Рассмотрим главную собственную функцию, равную реакции системы на такой же, но инвертированный во времени и пониженный по амплитуде до 1 входной сигнал (зеленый цвет), знак его выбирается из эстетических соображений. Рядом выводится реакция (красный цвет), пониженная на значение максимального собственного числа, т.е. на коэффициент пропускания (для сопоставимости).

Меняя постоянную времени, можно рассмотреть и "реакцию интегратора", увеличивая K и T1 звена до значения 100, несопоставимого с длительностью интервала времени T=4. Теоретически, это синусоида на четверти периода. Максимальный коэффициент усиления интегратора 2T/π достигается на главной ганкелевой функции звена f(t)=sin(ω0t), представляющей собой четверть синусоиды, целиком умещающейся на заданном отрезке времени T.


Задача аналитических методов – решить ту же самую задачу, опираясь на аппарат передаточных функций динамических систем (например), или на методы пространства состояний, и т.п. Кроме того, есть еще так называемый натурный эксперимент, который обходится вовсе без математического описания системы, вычисляя спектр и собственные функции по итогам натурных экспериментов с реальным объектом.

Rambler's Top100