ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Предположим, что на вход динамической системы действует полигармонический сигнал, содержащий некоторую сумму гармоник

u(t)=С1sin(ω1t+θ1)+С2sin(ω2t+θ2)+...+Сnsin(ωnt+θn)


Характеристическим называется уравнение (или система уравнений), вида

χ(ω1122,...,ωmm)=0.


связывающее частоты и фазы сигнала, обладающего свойством порождать собственную функцию динамической системы.

В данном случае под собственной функцией понимается входной сигнал, проходящий через систему с передаточной функцией Q(p) и оператор флипа с передаточной функцией F(p) без искажения, сохраняясь с точностью до масштабного коэффициента λ – собственного числа.

Характеристическое уравнение выводится из пары уравнений амплитудного и фазового балансов, и уравнения, учитывающего краевые условия.

1) Уравнение амплитудного баланса имеет следующий тривиальный вид для синусоидальных составляющих собственной функции

A(ω)=| λ |,


где A(ω) – амплитудная характеристика динамической системы, λ – собственное число.

2) Уравнение фазового баланса учитывает сдвиг по фазе, вносимый оператором флипа, оно справедливо для каждой синусоидальной составляющей собственной функции

φ(ω)+ψ(ω,θ)=arg(λ),


где φ(ω) – фазовая характеристика системы, ψ(ω,θ) – фазовая характеристика флипа (ψ(ω,ψ)=π–ωL–2θ для круговых гармоник), arg(λ)=0, если λ≥0 и arg(λ)=π при отрицательном λ.

Подставляя частоты, удовлетворяющие уравнению амплитудного баланса, в уравнение фазового баланса, получаем зависимость фаз гармоник θ=θ(λ) от собственного значения.

3) Учет краевых условий ведет к характеристическому уравнению (или системе уравнений) связи частот ω(λ) и фаз θ(λ) гармоник собственной функции, предопределяя свойства семейства собственных функций

χ(ω(λ),θ(λ))=0.


Поясним. Начальные условия предопределяют семейство собственных функций заданием коэффициентов линейной комбинации парциальных гармоник. Основное семейство, естественно, порождается нулевыми начальными условиями динамической системы.

Особенность собственных функций состоит в том, что начальные условия выливаются для них в краевые, так как входной сигнал u=f(T–τ) связан с выходным сигналом y=λf(t) соотношением инверсии во времени на интервале T.

Начальные и конечные значений собственной функции f(t) и всех ее производных связаны с соответствующими значениями импульсной весовой функции q(t) следующим образом

f(0)=0, λf '(0)=q(0)f(T), λf ''(0)=q'(0)f(T) – q(0)f '(T), .. .


Для периодических составляющих (синусоид) собственных функций краевые условия переходят в условия для коэффициентов линейной комбинации гармоник, их частот и фаз, например, для инерционных систем второго порядка с q(0)=0, имеем f(0)=0, f'(0)=0, из первого условия сразу следует, что коэффициенты при парных гармониках соответствуют перекрестно взятым синусам фаз: все собственные функции такого сорта, независимо от параметров динамической системы, имеют вид

f(t)=sin(θ2)sin(ω1t1)–sin(θ1)sin(ω2t2).


Из равенства нулю производной в начальной точке (гладкий старт, второе начальное условие) получаем трансцендентное уравнение

ω1ctg(θ1) – ω2ctg(θ2)=0.


Масштабированием производных не инерционных систем на старте f'(0)=q(0) (начальный наклон пропорционален начальному значению импульсной весовой функции, для инерционных систем, как видно, масштабируется вторая производная и т.д.) можно получить интересный результат, состоящий в том, что хвосты собственных функций заметают спектр f(T)=λ. Сходное качество собственных векторов (иметь в своем составе собственные числа) наблюдается у матриц Вандермонда.

Собственные функции ведут свою историю от исследований уравнений колебания маятника, позднее – струны. Тогда и появилась эта терминология. В качестве простейшей математической модели маятника можно взять два интегратора, замкнутые отрицательной обратной связью. По виду – это схема итерационного натурного эксперимента. Система повторяет свою собственную функцию – то вход закольцован на выход. Начальные условия для интеграторов периодически воспроизводятся, так что сугубо формально их можно отнести на бесконечно отдаленное прошлое.

Для нестационарных систем второго порядка задача изучена Ж. Лиувиллем и Ж.Ш.Ф. Штурмом еще в середине XIX века. Собственные функции, находимые из краевых условий, отвечают в этой редакции дифференциальному оператору или адекватному интегральному с ядром, называемым функцией Грина. Отметим, что многочлены Лежандра и прочие ортогональные функции удобно классифицировать именно как собственные функции соответствующих операторов.

Следует учитывать, что термины и признаки собственности (собственные функции) появились из этих задач, но они решались для частных систем. То, чем мы занимаемся, оно шире в силу простоты самой задачи: для линейных стационарных динамических систем (особенно, с современными средствами анализа задачи собственных значений) можно продвинуться значительно дальше.

Rambler's Top100