РАБОТА С РАЗДЕЛЕННЫМИ ИНТЕРВАЛАМИ



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Разделение интервалов времени произвести несложно. Пусть s – размер полной теплицевой матрицы, мы берем в рассмотрение нижний левый блок усеченной матрицы размера s2. Соответственно, управление действует с момента времен 0 по t(s2–1), а выход – с момента времен t(s–s2) по t(s–1), в качестве аргумента функции времени указан номер точки.

Посчитаем ганкелевы матрицы

Заметим, что этот ганкелев оператор связан с разделением интервалов времени подачи воздействия и реакции на него. Спектр такого гакелева оператора дискретен, и при полном развязывании, когда деление происходит ровно пополам, ограничен порядком динамической системы [1]. Его можно найти тривиальным обращением к процедуре поиска собственных значений, ниже выведем их модули. Заметим, что знаки собственных значений для такой "усеченной" ДЧХ играют роль фазовой характеристики. Рассмотрим звено третьего порядка.


Cобственные функции упорядочены по абсолютным величинам отвечающих им собственных значений, их можно видеть по флуктуациям в колонках матрицы собственных векторов. Спектр усеченного оператора "тает" к n-числам Гловера [2], n – порядок системы при s2=s/2. Такие траектории, точек спектра, можно, если не лениться, нарисовать. Как мухи, которые слетели с булки АЧХ на стол, и n штук на острия вилки сели. Вся наука Гловера состоит в том, чтобы не связываться с этими большими матрицами, а находить поредевшие коэффициенты спектра через собственные числа кросс-грамиана. Процедура balreal системы MatLab тоже этим занимается. Но зачем нам всегда и во всем полное разделение? Это частный случай.




Рассмотрим главную собственную функцию, равную реакции системы на такой же, но инвертированный во времени и пониженный по амплитуде до 1 входной сигнал (зеленый цвет), знак его выбирается из эстетических соображений. Рядом выводится смещенная, для сопоставления, реакция (красный цвет), пониженная на значение максимального собственного числа, т.е. на коэффициент пропускания (для сопоставимости). Меняя s2, можно рассмотреть, как меняется характер реакции системы при разнесении интервалов времени.


Примечание. Работать можно и с сингулярными числами прямоугольной матрицы, разумеется, когда интервалы совмещены в начале, но различны по длинам. В таком случает следует обратиться к SVD-разложению матрицы. Принципиальных различий этот случай не несет, но функции входа и выхода становятся не равны друг другу, вот их стоит называть сингулярными функциями динамической системы.

1. Балонин Н.А. Компьютерные методы анализа линейных динамических систем / Н.А. Балонин // Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. – 2008. – 400 с.
2. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariables systems // Intern. J. Control. 1984. V. 39. №. 6. – P. 1115–1193.

Rambler's Top100