ГРАМИАНЫ


Грамиан. Это матрица, элементами которой являются попарные скалярные произведения системы векторов (или функций), проверяемых на линейную независимость. Такую матрицу называют еще матрицей Грама для системы векторов. Грамиан является положительно-определенной симметричной матрицей с действительными и неотрицательными собственными значениями и соответствующими им попарно ортогональными собственными векторами.

Грамиан управляемости. Это матрица Грама, вычисленная для состояний линейной динамической системы dx/dt=Ax+Bu, y=Cx при ее реакции на дельта-импульс. Если система устойчива, ее грамиан управляемости G можно найти из следующего уравнения Ляпунова:

GA'+AG+BB'=0.


Описание системы в пространстве состояний называется ортогональным по входу, если она обладает диагональным грамианом управляемости.

Грамиан наблюдаемости. Согласно принципу дуальности Калмана в рассмотрение вводится дуальная система, переменные состояния которой образуют свою матрицу Грама в сходных рассмотренным выше условиях. Если система наблюдаема, ее грамиан наблюдаемости можно найти из следующего уравнения Ляпунова:

GA+A'G+C'C=0.


Описание системы в пространстве состояний называется ортогональным по выходу, если она обладает диагональным грамианом наблюдаемости.

Системные свойства и грамианы. Если пара матриц (А,B) является управляемой, а пара матриц (А,C) – наблюдаемой, то грамианы управляемости и наблюдаемости положительно определены.

Кросc-грамиан. Для односвязных систем квадрат этой матрицы равен произведению грамиана управляемости на грамиан наблюдаемости. Кросс-грамиан можно найти также из следующего уравнения

GA+AG+BC=0,



С – здесь вектор-строка.

От передаточных функций, если идти, имеем

Ганкелевы сингулярные числа и функции. Если исходная система устойчива, управляема и наблюдаема, все собственные значения квадрата кросс-грамиана вещественны и отличны от нуля. Модули этих значений называют ганкелевыми сингулярными числами системы (со знаками их называют алгебраическими).

Ганкелевыми сингулярными функциями называют сигналы, которые зеркально-симметричны входным сигналам и отличаются масштабными множителями, равными собственным числам кросс-грамиана. Математически эти функции можно найти как реакции системы на начальные состояния, равные собственным векторам кросс-грамиана (расчетом соответствующих импульсных весовых функций и т.п.). Полубесконечный интервал времени приходится заменять в примере конечным. С передаточной функцией второго порядка имеем

Вычисления для модели в пространстве состояний

Ганкелевы сигулярные числа описывают коэффициенты усиления сигналов в так называемом ганкелевом эксперименте, в котором интервал управления системой предшествует интервалу наблюдения.

Ганкелев эксперимент Максимальное ганкелево число и главную ганкелеву функцию можно найти из эксперимента с подачей инвертированного во времени сигнала системе на вход, с последующим наблюдением свободного движения. Отношение амплитуд сигналов даст желаемое.

Для модели в пространстве состояний

Cбалансированное представление. В сбалансированном представлении системы (A,B,C) грамианы управляемости и наблюдаемости являются диагональными и равными между собой матрицами. То же самое касается и кросс-грамиана. Очевидно, что для сбалансированной системы одновременно выполняются условия ортогональности по входу и выходу.

Задача диагонализации грамианов управляемости и наблюдаемости сводится к известной проблеме приведения двух квадратичных форм к главным осям (к задаче о пучке матриц), поскольку при линейном преобразовании координат грамианы управляемости и наблюдаемости изменяются конгруэнтно. Кросс-грамиан подвергается преобразованию подобия. Задача диагонализации последнего выполняется проще и несет дополнительную информацию о знаках собственных значений ганкелева оператора системы.

В силу симметрии ганкелева оператора, нет различия между его собственными и сингулярными функциями. Собственные значения кросс-грамиана называют еще алгебраическими сингулярными числами. Отрицательные значения отвечают инверсии входного сигнала при прохождении его через систему.

Редуцирование. Для внутренне сбалансированной системы сингулярные числа Ганкеля отсортированы в порядке их убывания.

Первое сингулярное число называется ганкелевой нормой передаточной функции. Каждое сингулярное значение характеризует степень вклада ортогональной переменной состояния системы в импульсную характеристику. Для построения редуцированных моделей важно знать, что чем больше значение сохраняемого сингулярного числа, тем больший вклад в динамику системы вносит соответствующая компонента вектора состояния.

Идея ортогональной редукции основана на том, чтобы исключить из общего описания подсистему, вклад которой в импульсную характеристику незначителен. Иными словами для описания объекта остается так называемая внутренне доминирующая подсистема. То есть это та подсистема, импульсная характеристика которой близка к импульсной характеристики полной модели.

МАТРИЦА СИЛЬВЕСТРА | МАТРИЦА МИРОНОВСКОГО


Rambler's Top100