ГАРМОНИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Теория динамических систем использует для описания собственных функций бесконечного интервала времени круговые гармоники, введенные еще Эйлером

sin(ωt)=(ejωt–ejωt)/2, сos(ωt)=(ejωt+ejωt)/2.


Коэффициент передачи для них будет тем же самым, что и для составляющих их экспонент, поскольку A(ω)=|Q(jω)| – симметрична относительно 0. Фазовый показатель комплексной функции Q(jω) описывает сдвиг фазы выходного сигнала.

Другое дело вещественная расходящаяся eαt и сходящаяся e–αt экспоненты, для них коэффициенты передач A(α) и A(–α) получаются разными. У апериодических звеньев – существенно разные, поскольку в левой части среза такой "АЧХ" наличествует полюс.

Аддитивную добавку (фазу θ) в аргумент для апериодических сигналов можно ввести, она сводится к масштабированию сигнала.

Модуль A(α) передаточной функции описывает масштабирование или, что то же самое, "сдвиг по фазе" сигнала eαt. Знак при экспоненте, никак не учитываемый при помощи выбора θ, можно считать рудиментом фазы такого сигнала.

Гиперболические функции построены на паре такого сорта гармоник

sh(αt)=(eαt–e–αt)/2, сh(αt)=(eαt+e–αt)/2.


Их называют еще гармоническими функциями мнимой частоты p=α. Наименование мнимая частота для α обязано своим происхождением возможности оперирования аргументом p=–jω, где мнимая величина ω=jα.

Так как сходящаяся к 0 экспонента со временем вносит меньший вклад в сумму, коэффициент усиления гармоники близок к коэффициенту среза Q(p) вдоль вещественной оси p=α в правой ее полуплоскости α≥0.



Графики круговых (слева) и гиперболических (справа) синусов и косинусов


Для характеристики передаточной способности звена норму входного сигнала зажимают и варьируют его форму, добиваясь максимального коэффициента передачи (энергии). В случае квадратичных норм и матричном описании системы y=Su коэффициент передачи реализуется на главном собственном векторе симметричной S'S. По отношению к исходной матрице S – это сингулярный вектор. Для динамических систем сходную с матричным произведением роль играет произведение R(p)=Q(p)Q(–p). В силу симметрии Q(p) срез корня квадратного из модуля этой характеристики вдоль мнимой оси дает знакомую нам АЧХ. Перед нами некоторая обобщенная амплитудно-фазовая характеристика системы.



Модуль R(p) интегратора


Срез корня квадратного от модуля R(p) вдоль вещественной оси A(α)=| R(α) |½ дает коэффициенты усиления гиперболических гармоник, срез вдоль осей частот A(ω)=R(jω)½ дает коэффициенты усиления круговых гармоник.



Вещественная и мнимая части R(p) интегратора


Отметим, что Re R(p) интегратора, равная квадратам коэффициентов пропускания λ2 негативна, соответственно, у интегратора нет гиперболических собственных функций. Трехмерный график модуля, вещественной и мнимой частей функции R(p) комплексного переменного p=a+jb легко строится с привлечением матричного сетевого построителя.

Срез R(α)½ вдоль функции мнимой частоты α содержит пик полюса апериодического звена

Определенный интерес представляет совмещенная АЧХ: график R(p)½, на котором вправо откладывается аргумент ω, влево α.



Модуль R(p) передаточной функции с двумя полюсами




Срез модуля R(p) системы четвертого порядка вдоль мнимой оси


ПРОДВИНУТЫЙ КОММЕНТАРИЙ

Rambler's Top100