ИНТЕГРАТОР



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Собственные функции интегратора Q(p)=1/p не отличаются от собственных функций апериодического звена

f(t)=sin(ωt).


Пример (матричного эксперимента) 1. Максимальный коэффициент усиления 2½T/π сигнала интегратором достигается на главной собственной функции звена, представляющей собой четверть синусоиды, целиком умещающейся на заданном отрезке времени T. Проверим это матричным экспериментом.

Пример (натурного эксперимента) 2. Проверим главную собственную функцию того же самого звена натурным экспериментом.

Локализация частот. Для интегратора Q(p)=1/p квадратичный коэффициент усиления гармоник λ2=R(p)=Q(p)Q(–p)=1/p2, пусть p=α+jω, тогда

R(α+jω)=1/(α2+2jαω–ω2).


Мнимая часть этой функции равна нулю, если α или ω равны нулю, то есть в расчет берется либо мнимая (гармоники – синусоиды), либо вещественная оси, но этот случай исключен. Дискретный спектр |λk|=1/ωk, ωk=(1/2+k)π/T, k=0, 1, ... лежит на АХЧ. Чем меньше T, тем реже точки ДЧХ размещены на непрерывной АЧХ.


Характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение интегратора имеет вид

cos(T/|λ|)=0.


Вывод основных закономерностей. Звенья первого порядка несколько сложнее для анализа, чем колебательное звено, это не касается интегратора.

1) Уравнения амплитудного баланса имеют вид

R(jω)=1/ω22, R(α)=–1/α22.


Из первого получаем зависимость |λ|=1/ω, точки спектра лежат на АЧХ; второе уравнение приводит к противоречию, гиперболических гармоник нет.

2) Фазовые характеристики интегратора φ(ω)=–π/2 и флип-оператора ψ(ω)=π–ωT дают уравнение фазового баланса

ωT=π/2–arg(λ)=π/2+kπ,


получаем выражения для частоты ωk=(1/2+k)π/T, k=0, 1, ... Объединяя с выражением для амплитудного коэффициента, получим характеристическое уравнение

cos(T/|λ|)=0.

Rambler's Top100