ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАТОР



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Круговая гармоника двойного интегратора Q(p)=1/p2, в сравнении с одинарным интегратором, смещена на θ=–π/2, отсюда имеем близкую к реалиям оценку

f(t)=sin(ωt+θ)–sin(θ)=1–cos(ωt).


Частота главной собственной функции аппроксимируется ω=0.6*π/T, для одинарного интегратора собственная функция – четвертинка синусоиды, тут и того меньше, см. ниже. Почти острый треугольник, по форме, так проще запомнить.



Главная собственная функция двойного интегратора




Пример биомеханического анализа движений штангиста


Финальную часть можно не смотреть, там идет прием снаряда, с успокоением его, а вот разгон повторяет черты ГСФ.

Точное решение. Согласно условиям локализации, двойной интегратор, как и консервативное звено (для младших собственных функций), содержит взвешенные суммы круговых и гиперболических гармоник

f(t)=sin(ωt)–sh(ωt)–η(cos(ωt)–ch(ωt)).


Она отвечает начальным условиям f(0)=0, f(0)'=0, значение коэффициента связи установим из λf''(T)=u(T)=0, производная f(t)'=ω(cos(ωt)–ch(ωt)+η(sin(ωt)+sh(ωt))), вторая производная f(t)''=–ω2(sin(ωt)+sh(ωt)–η(cos(ωt)+ch(ωt))), так что

η=(sin(ω*T)+sh(ω*T))/(cos(ω*T)+ch(ω*T))).


Второе граничное условие λf''(0)=u(0)=f(T) с учетом связи λ=±1/ω2 дает характеристическое уравнение двойного интегратора.

sin(ωT)–sh(ωT)–(cos(ωT)–ch(ωT))η±2η=0.



График характеристических "полиномов" для ±λ, T=10


Точки частот ω=α спектра (корни) справа идут регулярно, при одном знаке коэффициента усиления – близкими парами, можно оценит шаг, особенности сосредоточены в окрестности частоты парциальных гармоник главной собственной функции. Можно выписать уравнение для λ, но так проще. При увеличении интервала T, точки сгущаются.

Частота главной собственной функции аппроксимируется ω=0.6*π/T, для одинарного интегратора собственная функция – четвертинка синусоиды, тут и того меньше, см. ниже.

Примечание. В теоретической физике квадратичные спектры встречаются у простейшего атома – водорода.


Изучая линейчатый спектр атомарного водорода, Бальмер (швейцарский ученый, 1825–1898) подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра, установил закономерность (напомним, что "частоты" интерпретируются в физике как энергетические уровни, кванты энергии, и т.п.): ν=R(1/22–1/n2), R=2.07×1016 c–1 – постоянная Ридберга, n=3, 4, 5, .. точки идут регулярно. Мало энергетические уровни мало отличаются между собой. Как видно, здесь много общего, хотя бы на уровне качественного описания системы.

График ДЧХ. Построим график точек ДЧХ на АЧХ.



Двусторонняя АЧХ с отсчетами модулей | λ |, T=10


Двусторонняя АЧХ, влево отложен срез вдоль оси α, вправо – вдоль оси ω, точки пересечений с λ дают парные частоты полигармонического сигнала.

Односторонняя АЧХ, сокращенная ввиду симметрии графика выше.

Аппроксимация. Двойной интегратор (в отличие от оператора флипа) не меняет фаз гиперболических сигналов.

Поэтому, на первый взгляд, точным решением эти функции быть не могут. Нечем компенсировать сдвиг гиперболической составляющей флипом, фазовый баланс нарушен. Впрочем, это не касается функций нулевой частоты, к которым флип индифферентен: добавляем константу, получаем весьма близкую аппроксимацию точного решения в виде 1–cos(ωt).

Пример (матричного эксперимента) 1. Обратимся к численному методу, как видно, он демонстрирует хорошее совпадение с отмеченной аппроксимацией собственной функции. Частоту круговой гармоники находим через собственные числа, возвращаемые матричным экспериментом, и АЧХ, она сопоставима с оценочной.

Пример (натурного эксперимента) 2. Проверим главную собственную функции натурным моделированием, взяв в расчет указанную выше оценку ее частоты.


Rambler's Top100