МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Матричное уравнение Риккати. При известных A, R, Q (A<0, R≤0, Q>0, матрицы R и Q симметричны), рассматривается уравнение вида

PRP+PA+A'P+Q=0.


Алгоритм решения связан с расчетом блочной матрицы собственных векторов S=[V;W], отвечающей устойчивой части спектра [A R, -Q -A'], причем P=WV-1.

Якопо Франческо – итальянский математик рубежа XVIII века. Учился в Падуе. С 1747 жил в Венеции. Известен также инженерной деятельностью, он руководил постройкой речных плотин. Основные труды относятся к интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям. Автор исследований об интегрируемости в элементарных функциях одного типа дифференциального уравнения 1-го порядка, названного его именем. Отмеченное уравнение описывает стационарную точку решения.

Матричное уравнение Ляпунова. При известных A, Q (A<0, Q>0, Q=Q'), ищется матрица P из уравнения

PA+A'P+Q=0.


Это частный случай обращения к процедуре решения уравнения Риккати, при R=0.

К уравнению Ляпунова сводятся задачи нахождения грамианов динамических систем с матрицами пространства состояний S=[A,B,C]. Более общее матричное уравнение имеет вид

PRP+PA+BP+Q=0


дает решение для кросс-грамиана, при B=A, R=0, Q=BC. Алгоритм связан с составлением блочной матрицы [A R; –Q –B], в остальном все также, как и в случаях, рассмотренных выше, здесь P=riccati(A,R,Q,B).


Rambler's Top100