СЕМЕЙСТВО ОПЕРАТОРОВ



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Линейные динамические системы принято описывать дифференциальными уравнениями вида

x' = Ax + Bu; y = C x,


где x=x(t) – вектор состояния, x0 = x(0); u(t), y(t) – входной и выходной скалярные или, в общем, векторные сигналы. Решение этой системы уравнений при нулевом векторе начального состояния описывается интегралом свертки

y(t) = ∫τ=0:t q(t–τ)u(τ)dτ.


где q(t) – весовая функция, реакция на импульсное воздействие.

Структуру оператора свертки позволяет детально рассмотреть матрица его дискретного приближения

y = Su,
S =
 q(t0
0
 ... 
0
 q(t1
 q(t0
 ... 
0
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
 q(ts–1
 q(ts–2
 ... 
 q(t0
Δ
,


где S – теплицева матрица линейного оператора системы, содержащая в нижнем треугольнике отсчеты S(i, j)=q(t–τ)Δ, при t≤τ, ti, τ=Δj, Δ – шаг дискретизации по времени, y, u – векторы, которые можно рассматривать как выборочные значения s точек непрерывных функций входа u(t0), u(t1), ... и выхода y(t0), y(t1), ... системы, индексы элементов матрицы отсчитываются с 0.

Задумчивость хода истории математики проявляется в том, что матрицы, возникнув как функции дискретных аргументов, индексов, никогда решительно не пересматривались в сторону расширения области их определения. Естественным обобщением матрицы является функция двух непрерывных переменных. Знак интеграла, представляющий собой такой же анахронизм, как и знак суммы в явном определении скалярного произведения или определении операции произведения матриц, пока робко, только в пределах теории операторов, отмирает, позволяя записывать свертку короче y=Su. Это произведение подчеркивает родство представителей линейных систем, не столь очевидное в дифференциальной форме.

Обратим внимание, что матрицы A, B, С, по сути, это «атомарное» описание системы, тогда как функция двух аргументов q(t,τ), несомненно, «галактический» для конечномерной математики объект.

Динамические системы вносят задержку во входной сигнал, по этой причине, на первый взгляд, они не имеют собственных «векторов» или собственных функций – как их следовало бы называть. На бесконечном интервале в роли собственных функций выступают элементарные гармоники. Система только усиливает или ослабляет синусоидальные сигналы, что отвечает представлению о собственных векторах. Разложение произвольного сигнала в ряд Фурье аналогично разложению вектора в базисе собственных векторов. Закономерно интересоваться аналогом процедуры диагонализации матриц, приводящей их к канонической форме Жордана. В мире динамических систем сходную обязанность выполняет предложенное Оливером Хевисайдом преобразование Лапласа.

Следующий рис. 1 показывает соотношение двух родственных «диагонализаций» матричной и интегральной моделей систем.



Рис. 1. Упрощение моделей переходом к новому базису


Разложение A=VDV–1 трактуется как переход к базису, в котором A упрощается до диагональной матрицы D. Интегральное преобразование Лапласа L : u(t) → u(p) играет роль сходную с умножением на матрицу V–1, для функций имеем

u(p) = ∫τ=0:∞ eptu(τ)dτ, y(p) = ∫τ=0:∞ epty(τ)dτ.


Произведение y(p)=Q(p)u(p) сходно с умножением компонент входного вектора на элементы диагонали D. Отсюда видно, что на бесконечном интервале времени гармонические сигналы выступают как собственные функции динамических систем, а передаточная функция Q(p) – как спектр, это «диагональ» бесконечномерной «матрицы».

Анализ спектра матрицы A, т. е. диагонали D, позволяет судить об устойчивости разомкнутой динамической системы. Поскольку свободные движения описываются суммой экспонент с показателями, равными собственным значениям, спектр A должен располагаться в левой полуплоскости. Спектр бесконечномерной «матрицы» сортируют по частоте гармонических сигналов. Логарифмируя модуль передаточной функции, его график можно построить при помощи карандаша и линейки, см. 2. Сравнительно недавно это имело большое значение.



Рис. 2. Частотная характеристика динамической системы


Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) линейной динамической системы L(ω)=20lg|Q(jω)| измеряется в децибелах, ось частот логарифмируется, интервал изменения частоты на порядок называется декадой. Точки надломов характеристики на оси ω связаны с полюсами и нулями передаточной функции. Отклонения происходят в противоположных направлениях, для корней знаменателя – вниз, и всегда на один и тот же угол: двадцать децибел на декаду.

Допустим, что объект замыкается отрицательной единичной обратной связью. Вследствие запаздывания сигнала в системе, знак отрицательной обратной связи может динамически изменяться на противоположный. Если коэффициент усиления в контуре на частоте этого сигнала больше единицы, возникает самовозбуждение. Свист, который издает усилитель при подключении к нему микрофона, связан с подобным эффектом.

Каждый надлом частотной характеристики вниз описывает задержку гармонического сигнала со сдвигом его фазы на девяносто градусов. Найквист доказал, что надломы вниз и вверх компенсируют друг друга, поэтому достаточно контролировать критический наклон только на частоте среза ωc. Сигналы более высокой частоты гаснут в замкнутом контуре. Потеря устойчивости системы при повышении коэффициента усиления связана с крутым фронтом ЛАЧХ и напоминает переворот айсберга.

До эпохи вычислительных машин представление о бесконечномерном операторе было полезным, но мало ощутимым понятием. С появлением современной компьютерной графики ситуация изменилась.

Спектральное описание оператора свертки на конечном интервале малопродуктивно. Матрица его дискретного приближения имеет только один собственный вектор, от которого у непрерывной системы остается «рудимент» в виде оконечного дельта-импульса. Строгому определению собственной функции он не отвечает. Динамическая система вносит задержку в сигнал и, казалось бы, собственных функций не имеет. Это представление долгие годы господствовало в теории динамических систем, и оно находится в разительном противоречии с центральным свойством линейности, которое обретает смысл при опоре на собственный базис.

Между тем, положение можно решительно изменить, разрешив инвертировать входной или выходной сигнал во времени. Оператор разворота (флипа) F не меняет энергетических характеристик сигнала и не нарушает свойство линейности. Его умножение на оператор свертки слева или справа меняет у матрицы дискретного приближения главную диагональ на побочную, причем итоговый оператор становится симметричным, см. рис. 3. Данное обстоятельство явно недооценено. Оно снимает указанное выше основное противоречие, позволяя применять к динамическим системам методы, разработанные в матричной алгебре.

Остается добавить, что оператор флипа F играет специфическую роль мнимой единицы, позволяя строить алгебру операторов с двумя образующими. Эта тема, безусловно, заслуживает отдельного обсуждения. Рисунок ниже дает представление о семействе классифицированных по принципу симметрии комплексных операторов, ассоциированных с одним и тем же динамическим объектом. Их упрощение связано с разнесением отрезков времени управления и наблюдения, в результате чего спектр бесконечномерного объекта может стать конечным. Таков ганкелев оператор.



Рис. 3. Портреты линейных операторов

Rambler's Top100