КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО



© Балонин Н.А. 21.11.2014

Некоторые полезные формулы, рисунки и пояснения к теме


Для инерционных систем второго порядка с q(0)=0, имеем f(0)=0, f'(0)=0, из первого условия сразу следует, что коэффициенты при парных гармониках соответствуют перекрестно взятым синусам фаз, старшие собственные функции таких систем (оптимальный выходной сигнал) имеют вид

f(t)=sin(θ2)sin(ω1t1)–sin(θ1)sin(ω2t2),


где θ1=(π–ω1T)/2, θ2=–ω2T/2 – фазы гармоник, ω1=(1–1/λ)½, ω2=(1+1/λ)½ – парные частоты, перекрестно меняющие значения при смене знака алгебраического коэффициента пропускания λ. Если фиксировать меньшее и большее значения частот подстановкой в формулы модуля | λ |>1, их нумерацию при смене знака λ придется менять: приведена универсальная формула.

Виду того, что семейство собственных функций бесконечно, в первую очередь нас интересует главная собственная функция, отвечающая максимальному по модулю собственному числу. Младшие гиперболические собственные функции, отвечают пониженным коэффициентам пропускания, их можно описать так

f(t)=αsin(ωt)–ωsh(αt)–η(αcos(ωt)–ωch(αt)).



Пример (матричного эксперимента) 1. Главное собственное значение λ=7.43, 3.5, –1.7, .. для интервалов времени T=22.3, 10, 5, .. (напомним, это алгебраическое значение амплитудного коэффициента пропускания). Следующее за λ=–1.7 близкое собственное значение λ=1.68 отвечает второй собственной функции. Точность расчета для такого звена существенно зависит от размера матрицы оператора.

Пример (натурного эксперимента) 2. Проверим главную собственную функцию, вычисленную аналитически, натурным экспериментом.

Уменьшение интервала времени связано со сближением и сменой знака главного собственного числа, что отчасти объясняется приближением характеристик всех звеньев к характеристике интегратора, с его фазовым сдвигом на π/2. Тот же пример, но с использованием уравнений пространства состояний.

Локализация частот. Для консервативного звена Q(p)=1/(p2+1) квадратичный коэффициент усиления гармоник λ2=R(p)=Q(p)Q(–p)=1/(p2+1)2, пусть p=α+jω, тогда

R(α+jω)=1/(α2–ω2+1+2jαω)2.


Мнимая часть этой функции равна нулю, если α или ω равны нулю, то есть в расчет берется либо мнимая (гармоники – парные синусоиды), либо вещественная оси. Других гармоник быть не может.

Пример (построение ДЧХ) 3. Частоты главной, и всех последующих собственных функций можно находить графически или аналитически, точность расчета зависит от размера матрицы оператора (в расчет взят размер 200).

Картинка АЧХ наводит на мысль, что число чисто синусных собственных функций (старших) конечно. Их может быть вообще только две, для интервала T=5: |λ|<A(0), λ>0 и λ<0. Все остальные полигармонические сигналы устроены заметно сложнее.

Используем графо-аналитическое построение для иллюстрации решений, находимых ниже. Рассмотрим срезы обобщенной амплитудной частотной характеристики R(p)½ вдоль вещественной и мнимой осей, объединив их (вправо от 0 строится обычная АЧХ, зависящая от частоты ω, влево – АЧХ гиперболических функций, зависящая от частоты α).

Сечение АЧХ на уровне |λ|=7.43, 3.5, 1.85, .. дает парные частоты ω1, ω2 для главной собственной функции f(t) для интервалов T=22.3, 10, 5, ...

Частоты α1, ω2, отвечающие младшим собственным функциям с гиперболической составляющей sh(α11) полигармонической пары, характерны для коэффициентов усиления |λ|<A(0), A(0) – статический коэффициент усиления, они отражены нижней линией для одного из интервалов времени. Между старшей и младшей полочками, отраженными на рисунке, идут промежуточные, общее количество таких решений бесконечно.



Уровни главных собственных значений для четырех интервалов


К классической АЧХ пристыкована правая часть Q(α), аппроксимирующая значения R1/2(α) при отсутствии полюсов на срезе.

Характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение консервативного звена c передаточной функцией Q(p)=1/(p2+1) имеет вид

ω1tg(ω1T/2)+ω2ctg(ω2T/2)=0.


где выражения ω1=(1–1/λ)½, ω2=(1+1/λ)½ получены из условий амплитудного баланса (подстановка их в уравнение приводит к условию, из которого собственные значения λ).

Пример (поиска λ) 4. Характеристическое уравнение конечномерных матриц и бесконечномерных "матриц" линейных операторов, в общем, имеет сходный характер, и в том и в другом случае "полиномиальная функция" (во втором случае – тригонометрическая, это ряд) флуктуирует, ее корни дают спектральные точки λ дискретной частотной характеристики. Мы используем здесь графо-аналитическое решение.

График левой части уравнения для отрезка времени T=10*π/√2=22.3 приведен на рисунке, при этом искомые корни 1<|λ|<10: по мере приближению к началу координат точки спектра сгущаются и становятся плохо различимыми, значения первых трех корней характеристического уравнения для этого диапазона равны 7.43 (главное сингулярное число, лежит на непрерывной АЧХ на вычисленной частоте), далее 2.32 и 1.55. Расчет точек спектра для отрицательных значений λ дает наибольшее по абсолютной величине число –6.8, которое уступает главному собственному числу, следующее равно –2.5.

Альтернативные формы. Тригонометрические зависимости можно записывать в нескольких формах, они отличаются численной устойчивостью, например, tg(ω1T/2)tg(ω2T/2)+ω21=0 или ω1sin(ω1T/2)sin(ω2T/2)+ω2cos(ω2T/2)cos(ω1T/2)=0 (см. ниже).

Выведем характеристическое уравнение для частот младших собственных функций, взяв в качестве их описания форму

f(t)=αsin(ωt)–ωsh(αt)–η(αcos(ωt)–ωch(αt)).


Они отвечает начальным условиям f(0)=0, f(0)'=0, значение коэффициента связи установим из λf''(T)+f(T)=u(T)=0, производная f(t)'=(αωcos(ωt)–αωch(ωt)+η(αωsin(ωt)+αωsh(ωt))), вторая производная f(t)''=–(αω2sin(ωt)+ωα2sh(ωt))+η(αω2cos(ωt)+ωα2ch(ωt)), так что

η=(α(1–ω2)sin(ω*T)+ω(1–α2)sh(α*T))/(α(1–ω2)cos(ω*T)+ω(1–α2)ch(α*T))).


Второе граничное условие λ(f''(0)+f(0))=u(0)=f(T) с учетом связей λ=±1/(1+ω2), α=ω–1 дает характеристическое уравнение для гиперболических функций консервативного звена.

αsin(ωT)–ωsh(αT)–(αcos(ωT)–ωch(αT))η±αω(α+ω)η/(1+ω2)=0.


Ниже составлена программа для случая: Q(p)=1/(p2+b), полагая α=ω–b, меняем b от 0 до 1.

Вывод основных закономерностей. С точки зрения простоты и наглядности анализа консервативные системы представляют собой наилучший пример, поскольку собственные функции состоят, преимущественно, из комбинаций синусоид.

1) Уравнение амплитудного баланса имеет следующий тривиальный вид для синусоидальных составляющих собственной функции

A(ω)= | 1/(1–ω2) | = | λ |,


где A(ω) – амплитудная характеристика динамической системы, λ – собственное число. Отсюда следуют формулы для парных частот ω1=(1–1/| λ |)½, ω2=(1+1/| λ |)½, расположенных симметрично относительно полюса в точке 1.

Отметим, что расчет ω1=(1–1/λ)½, ω2=(1+1/λ)½ дает тот же результат, что и выше, но приводит к перекрестной перестановке значений ω1, ω2 при отрицательном коэффициенте усиления λ, что удобно и используется написании общей формулы для главной собственной функции.

2) Уравнение фазового баланса учитывает сдвиг по фазе, вносимый оператором флипа, оно справедливо для каждой синусоидальной составляющей собственной функции

φ(ω)+ψ(ω,θ)=arg(λ),


где φ(ω) = arg(1–ω) – фазовая характеристика колебательного звена, причем φ(ω1)=0, φ(ω2)=π. ψ(ω,θ) = π–ωT–2θ – фазовая характеристика флипа, arg(λ)=0, если λ≥0 и arg(λ)=π при отрицательном λ.

Подставляя частоты, удовлетворяющие уравнению амплитудного баланса, в уравнение фазового баланса, получаем зависимость фаз гармоник θ1=(π–ω1T)/2, θ2=–ω2T/2.

3) Ограничение на производную в начальной точке (нулевая) порождают характеристическое уравнение связи частот ω(λ) и фаз θ(λ) гармоник собственной функции (оно дает уравнение, использованное выше)

χ(ω(λ),θ(λ))=ω1ctg(θ1) – ω2ctg(θ2)=0.


Rambler's Top100